. ¿Qué número es mayor: $2004^{2005}$ o $2005^{2004}$ ? P5. Halle el área de un triángulo si las longitudes de sus medianas son $9cm$ , $12cm$ y $15cm$ . P6. Hay $4$ monedas, cada una de las cuales pesa $10g$ u $11g$ . Se dispone de una balanza de un solo platillo que muestra únicamente el peso total colocado en ella. ¿Cuál es el número mínimo de pesadas necesarias para determinar el peso de cada moneda?

Hay $n^2$ segmentos en el plano (léase paredes), de los cuales no hay dos que sean paralelos o que se intersequen. Demuestre que existen al menos $n$ puntos en el plano tales que no hay dos de ellos que se vean entre sí (es decir, hay una pared que los separa).

G3 Dado un triángulo \(ABC\), sea \(D\) el punto medio del lado \(AC\) y sea \(M\) el punto que divide al segmento \(BD\) en la razón \(1/2\); es decir, \(MB/MD=1/2\). Las rayas \(AM\) y \(CM\) cortan a los lados \(BC\) y \(AB\) en los puntos \(E\) y \(F\), respectivamente. Supón que las dos rayas son perpendiculares: \(AM\perp CM\). Muestra que el cuadrilátero \(AFED\) es cíclico si y solo si la mediana desde \(A\) en el triángulo \(ABC\) corta a la recta \(EF\) en un punto situado sobre la circunferencia \(ABC\).

4 En el cuadrilátero $ABCD$ con $\angle BAD=\angle BCD$ , la diagonal $AC$ interseca a la circunferencia circunscrita de $\triangle BCD$ en un punto $P \neq C$ . Sean $Q$ , $R$ , $S$ y $T$ las reflexiones de $P$ respecto de $\overline{AB}$ , $\overline{BC}$ , $\overline{CD}$ y $\overline{DA}$ , respectivamente. Demuestre que la circunferencia circunscrita de $\triangle AQT$ es tangente a la recta $RS$ . Benny Wang

2 Suponga que $a, b,$ y $c$ son números reales positivos para los cuales $(a+b)(a+c)(b+c) = 1$ . Demuestre que $ab+bc+ca \leq\frac{3 }{4}.$ N.T.TUAN

1 Los lados $a,b,c$ del triángulo $ABC$ satisfacen $a\le b\le c$ . El circunradio y el inradio del triángulo $ABC$ son $R$ y $r$ respectivamente. Sea $f=a+b-2R-2r$ . Determine el signo de $f$ según la medida del ángulo $C$ .

2 Una sucesión $(a_n)$ se define recursivamente mediante $a_1=0, a_2=1$ y, para $n\ge 3$ , \[a_n=\frac12na_{n-1}+\frac12n(n-1)a_{n-2}+(-1)^n\left(1-\frac{n}{2}\right).\] Halle una expresión en forma cerrada para $f_n=a_n+2\binom{n}{1}a_{n-1}+3\binom{n}{2}a_{n-2}+\ldots +(n-1)\binom{n}{n-2}a_2+n\binom{n}{n-1}a_1$ .

4 Sea $ABC$ un triángulo con $m (\angle C) = 90^\circ$ y los puntos $D \in [AC], E\in [BC]$. Dentro del triángulo construimos los semicírculos $C_1, C_2, C_3, C_4$ de diámetros $[AC], [BC], [CD], [CE]$ y sean $\{C, K\} = C_1 \cap C_2, \{C, M\} = C_3 \cap C_4, \{C, L\} = C_2 \cap C_3, \{C, N\} = C_1 \cap C_4$. Demuestra que los puntos $K, L, M, N$ son concíclicos.

67 Si $a, b, c, d$ son números reales tales que $a^2 + b^2 + c^2 + d^2 \leq 1$ , halle el máximo de la expresión \[(a + b)^4 + (a + c)^4 + (a + d)^4 + (b + c)^4 + (b + d)^4 + (c + d)^4.\] Amir

. Demuestre que el número $11\ldots1122\ldots22$ , formado por $100$ unos seguidos de $100$ doses, es el producto de dos enteros consecutivos. P2. En un cuadrilátero $ABCD$ con $AB$ no paralelo a $CD$ , sea $E$ el punto medio de $AB$ y $F$ el punto medio de $CD$ . Demuestre que los puntos medios de los segmentos $AF$ , $CE$ , $BF$ y $DE$ son los vértices de un paralelogramo. P3. Dados $n+1$ números naturales distintos, todos menores que $2n$ , demuestre que se pueden elegir tres de ellos tales que uno de los números sea igual a la suma de los otros dos.