4 En una competencia había $67$ estudiantes. Resolvieron $6$ problemas. El estudiante que resuelve correctamente el $k$-ésimo problema obtiene $k$ puntos, mientras que el estudiante que resuelve incorrectamente el $k$-ésimo problema obtiene $-k$ puntos. $a)$ Demuestre que existen dos estudiantes con exactamente las mismas respuestas a los problemas $b)$ Demuestre que existen al menos $4$ estudiantes con el mismo número de puntos

1 Para los números reales $x$ , $y$ y $z$ , resuelva el sistema de ecuaciones: $$x^3+y^3=3y+3z+4$$ $$y^3+z^3=3z+3x+4$$ $$x^3+z^3=3x+3y+4$$

3 Sea $ABC$ un triángulo con incentro $I$ . La recta $AI$ interseca a la circunferencia circunscrita de $ABC$ en los puntos $A$ y $D$ , $(A \neq D)$ . La circunferencia inscrita de $ABC$ es tangente al lado $BC$ en el punto $E$ . La recta $DE$ interseca a la circunferencia circunscrita de $ABC$ en los puntos $D$ y $F$ , $(D \neq F)$ . Demuestre que $\angle AFI = 90^{\circ}$

4 Alicia y María estaban buscando en el desván y encontraron una balanza y una caja con pesas. Cuando ordenaron las pesas por masa, descubrieron que existen $5$ grupos distintos de pesas. Jugando con la balanza y las pesas, descubrieron que si ponen dos pesas cualesquiera en el platillo izquierdo de la balanza, pueden encontrar otras dos pesas y ponerlas en el platillo derecho de modo que la balanza quede en equilibrio. Halle el número mínimo de pesas en la caja

3 En el triángulo $ABC$ $(b \geq c)$ , el punto $E$ es el punto medio del arco menor $BC$ . Si $D$ es el punto tal que $ED$ es el diámetro de la circunferencia circunscrita de $ABC$ , demuestre que $\angle DEA = \frac{1}{2}(\beta-\gamma)$

4 Determine el conjunto $S$ con el número mínimo de puntos que define $7$ rectas distintas

3 Sea $ABCD$ un paralelogramo. Sea $M$ un punto sobre el lado $AB$ y $N$ un punto sobre el lado $BC$ tales que los segmentos $AM$ y $CN$ tienen longitudes iguales y no nulas. Las rectas $AN$ y $CM$ se cortan en $Q$ . Demuestre que la recta $DQ$ es la bisectriz del ángulo $\measuredangle ADC$ . Formulación alternativa. Sea $ABCD$ un paralelogramo. Sean $M$ y $N$ puntos sobre los lados $AB$ y $BC$ , respectivamente, tales que $AM=CN\neq 0$ . Las rectas $AN$ y $CM$ se intersecan en un punto $Q$ . Demuestre que el punto $Q$ se encuentra sobre la bisectriz del ángulo $\measuredangle ADC$ .

2 Resuelva la ecuación $$x^2+y^2+z^2=686$$ donde $x$ , $y$ y $z$ son enteros positivos

3 La circunferencia exinscrita del triángulo $ABC$ correspondiente al lado $AB$ es tangente al lado $AB$ en el punto $D$ . Determine la razón $AD : BD$ si $\angle CAB = 2 \angle ADC$

3 Halle el resto al dividir por $2012$ el número $$A=1\cdot2+2\cdot3+3\cdot4+...+2009\cdot2010+2010\cdot2011$$