Sea un triángulo $ABC$ con simedianas $AD,BE,CF$ concurrentes en el punto de Lemoine $L(D,E,F$ están sobre los lados $BC,CA,AB,$ respectivamente $).$ Demuestre que: $LA+LB+LC\ge 2(LD+LE+LF).$

Sea un polinomio con coeficientes enteros de grado $n>0:$ $$P(x)=a_nx^n+...+a_1x+a_0.$$ Suponga que existe un número primo $p$ que satisface estas condiciones: i) $p|a_i$ para todo $0\le i<n,$ ii) $p\nmid a_n,$ iii) $p^2\nmid a_0.$ Demuestre que $P(x)$ es irreducible en $\mathbb{Z}[x].$

Sea un polinomio con coeficientes enteros $$P(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0,n\ge 1$$ que satisface estas condiciones: i) $|a_0|$ no es un cuadrado perfecto. ii) $P(x)$ es irreducible en $\mathbb{Q}[x].$ Demuestre que: $P(x^2)$ es irreducible en $\mathbb{Q}[x].$

Demuestre que: el polinomio $$(x(x+1)(x+2)(x+3))^{2^{2023}}+1$$ es irreducible en $\mathbb{Q}[x].$

Sea un polinomio $$P(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0\in \mathbb{Z}[x]$$ de grado $n\ge 2$ y $a_o\ne 0.$ Demuestre que si $|a_{n-1}|>1+|a_{n-2}|+...+|a_1|+|a_0|$ , entonces $P(x)$ es irreducible en $\mathbb{Z}[x].$

Demuestre que: el polinomio $$(x(x+1))^{2^{2023}}+1$$ es irreducible en $\mathbb{Q}[x].$

Demuestre que estos polinomios son irreducibles en $\mathbb{Q}[x]:$ a) $\frac{{{x^p}}}{{p!}} + \frac{{{x^{p - 1}}}}{{(p - 1)!}} + ... + \frac{{{x^2}}}{2} + x + 1,$ donde $p$ es un número primo. b) $x^{2^n}+1,$ donde $n$ es un entero positivo.

Demuestre que: un polinomio es irreducible en $\mathbb{Z}[x]$ si y solo si es irreducible en $\mathbb{Q}[x].$

Demuestre que: para todo entero positivo $n\ge 2,$ el polinomio $$(x^2-1)^2(x^2-1)^2...(x^2-2023)^2+1$$ es irreducible en $\mathbb{Q}[x].$

4 Sea $n_{>5}\in\mathbb N_+.$ Demuestre que $n!\nmid\sigma(n!).$ Un caso especial de 2015 CWMI Día 2 P2