Sean $x,y,z$ números positivos tales que $x^2+y^2+z^2=1$ . Demuestre que $$\frac x{1-x^2}+\frac y{1-y^2}+\frac z{1-z^2}\ge\frac{3\sqrt3}2$$

1 Los números complejos ${x_i},{y_i}$ satisfacen $\left| {{x_i}} \right| = \left| {{y_i}} \right| = 1$ para $i=1,2,\ldots ,n$ . Sean $x=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n{{x_i}}$ , $y=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n{{y_i}}$ y $z_i=x{y_i}+y{x_i}-{x_i}{y_i}$ . Demuestre que $\sum\limits_{i=1}^n{\left| {{z_i}}\right|}\leqslant n$ .

5 Sean $I,H,O$ el incentro, el baricentro y el circuncentro del triángulo no isósceles $ABC$ . Demuestre que $AI \parallel HO$ si y solo si $\angle BAC =120^{\circ}$ . Amir

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo escaleno con ortocentro $H$ . La circunferencia con centro $A$ y radio $AH$ corta a la circunferencia circunscrita de $BHC$ en $T_{a} \neq H$ . Defina $T_{b}$ y $T_{c}$ de manera similar. Demuestre que $H$ está sobre la circunferencia circunscrita de $T_{a}T_{b}T_{c}$ . Autor: Nikola Velov

Hay $n$ niños y $n$ niñas sentados alrededor de una mesa circular, donde $n>3$ . En cada movimiento, se nos permite intercambiar los lugares de $2$ niños adyacentes. La entropía de una configuración es el número mínimo de movimientos tal que al final de estos cada niño tenga al menos un vecino del mismo género. Halle la entropía máxima posible sobre el conjunto de todas las configuraciones. Autor: Viktor Simjanoski

Alice tiene un entero $N > 1$ en el pizarrón. Cada minuto, borra el número actual $x$ del pizarrón y escribe $2x+1$ si $x$ no es el cubo de un entero, o la raíz cúbica de $x$ en caso contrario. Demuestre que en algún momento escribe un número mayor que $10^{100}$ . Propuesto por Anant Mudgal y Rohan Goyal

Sea $k$ un entero positivo. Una sucesión de enteros $a_1, a_2, \cdots$ se llama $k$ - pop si se cumple lo siguiente: para todo $n \in \mathbb{N}$ , $a_n$ es igual al número de elementos distintos del conjunto $\{a_1, \cdots , a_{n+k} \}$ . Determine, en función de $k$ , cuántas sucesiones $k$ - pop existen. Propuesto por Sutanay Bhattacharya

Para cualquier entero positivo $n$ , defina $f(n)$ como el menor entero positivo que no divide a $n$ . Por ejemplo, $f(1)=2$ , $f(6)=4$ . Demuestre que para cualquier entero positivo $n$ , o bien $f(f(n))$ o bien $f(f(f(n)))$ debe ser igual a $2$ .

Sea $ABC$ un triángulo isósceles con $AB = AC$ . Suponga que $P,Q,R$ son puntos de los segmentos $AC, AB, BC$ , respectivamente, tales que $AP = QB$ , $\angle PBC = 90^\circ - \angle BAC$ y $RP = RQ$ . Sean $O_1, O_2$ los circuncentros de $\triangle APQ$ y $\triangle CRP$ . Demuestre que $BR = O_1O_2$ . Propuesto por Atul Shatavart Nadig

Se nos da un triángulo $ABC$ tal que $\angle BAC < 90^{\circ}$ . El punto $D$ está en el lado opuesto de la recta $AB$ respecto de $C$ , tal que $|AD| = |BD|$ y $\angle ADB = 90^{\circ}$ . De manera similar, el punto $E$ está en el lado opuesto de $AC$ respecto de $B$ , tal que $|AE| = |CE|$ y $\angle AEC = 90^{\circ}$ . El punto $X$ es tal que $ADXE$ es un paralelogramo. Demuestre que $|BX| = |CX|$ . leannan-capall