5 Se da un pentágono regular $ABCDE$ . El punto $X$ está sobre su circunferencia circunscrita, en el arco $\overarc{AE}$ . Demuestre que $|AX|+|CX|+|EX|=|BX|+|DX|$ . Observación: He aquí una versión más general del problema: demuestre que para cualquier punto $X$ del plano, $|AX|+|CX|+|EX|\ge|BX|+|DX|$ , con igualdad solo en el arco $\overarc{AE}$ .

1 Nina y Meir caminan por un sendero de $3$ km hacia la casa de la abuela. Empiezan a caminar al mismo tiempo desde el mismo punto. La velocidad de Meir es $4$ km/h y la velocidad de Nina es $3$ km/h. A lo largo del sendero hay varios bancos. Cada vez que Nina o Meir llega a un banco, se sientan en él durante un tiempo y comen una galleta. Nina siempre tarda $t$ minutos en comer una galleta, y Meir siempre tarda $2t$ minutos en comer una galleta, donde $t$ es un entero positivo. Resulta que Nina y Meir llegaron a la casa de la abuela al mismo tiempo. ¿Cuántos bancos había? Halle todas las opciones.

7 Halle todas las funciones $f:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{C}$ tales que $f(x(2y+1))=f(x(y+1))+f(x)f(y)$ se cumple para cualesquiera dos enteros $x,y$ .

2 Se da un triángulo cuyas alturas tienen longitudes $\frac{1}{5},\frac{1}{5},\frac{1}{8}$ . Evalúe el área del triángulo.

3 Demuestre que el número $\left(\frac{76}{\frac{1}{\sqrt[3]{77}-\sqrt[3]{75}}-\sqrt[3]{5775}}+\frac{1}{\frac{76}{\sqrt[3]{77}+\sqrt[3]{75}}+\sqrt[3]{5775}}\right)^3$ es un entero.

4 Sean $k,m,n$ enteros positivos tales que $n^m$ es divisible por $m^n$ , y $m^k$ es divisible por $k^m$ . Demuestre que $n^k$ es divisible por $k^n$ . Encuentre un ejemplo de $k,m,n$ que satisfaga las condiciones anteriores, donde los tres números sean distintos y mayores que 1.

1 Encuentre un ejemplo de tres enteros positivos $a,b,c$ que satisfacen $31a+30b+28c=365$ . Demuestre que cualquier terna $a,b,c$ que satisfaga la condición anterior también satisface $a+b+c=12$ .

4 Al principio, hay una circunferencia con tres puntos sobre ella. Los puntos están coloreados (en el sentido de las agujas del reloj): verde, azul, rojo. Jonathan puede realizar las siguientes acciones, tantas veces como quiera, en cualquier orden: Elegir dos puntos adyacentes de colores distintos, y añadir un punto entre ellos con uno solo de los dos colores. Elegir dos puntos adyacentes del mismo color, y añadir un punto entre ellos con cualquiera de los tres colores. Elegir tres puntos adyacentes, al menos dos de ellos del mismo color, y borrar el punto del medio. ¿Puede Jonathan alcanzar un estado en el que solo queden tres puntos en la circunferencia, coloreados (en el sentido de las agujas del reloj): azul, verde, rojo?

3 Sea $ABCDEF$ un hexágono convexo. En el hexágono hay un punto $K$ , tal que $ABCK,DEFK$ son ambos paralelogramos. Demuestre que las tres rectas que unen $A,B,C$ con los puntos medios de los segmentos $CE,DF,EA$ concurren en un punto.

4 Se nos da una fila de $n\geq7$ casillas. En las 3 casillas de más a la izquierda hay una ficha blanca en cada una, y en las 3 casillas de más a la derecha hay una ficha negra en cada una. Los jugadores blanco y negro juegan por turnos (empieza el blanco). En cada movimiento, un jugador puede tomar una ficha de su color y moverla a una casilla adyacente, siempre que no esté ocupada por una ficha del mismo color. Si la nueva casilla está vacía, no ocurre nada. Si la casilla está ocupada por una ficha del color contrario, ambas fichas son destruidas (tanto la blanca como la negra). El jugador que destruye las dos últimas fichas gana el juego. ¿Qué jugador tiene una estrategia ganadora, y cuál es? (La respuesta puede depender de $n$ )