3 Se dan los números naturales no nulos $a,b,c$ tales que el número $\frac{a\sqrt2+b\sqrt3}{b\sqrt2+c\sqrt3}$ es racional. Demuestre que el número $\frac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c}$ es un entero .

4 Los números $x,y,z$ son enteros positivos y satisfacen la ecuación $x+y+z=2013$ . (E) a) Halle el número de ternas $(x,y,z)$ que son soluciones de la ecuación (E). b) Halle el número de soluciones de la ecuación (E) para las cuales $x=y$ . c) Halle la solución $(x,y,z)$ de la ecuación (E) para la cual el producto $xyz$ es máximo.

1 a) Sea $n$ un entero positivo. Demuestre que $ n\sqrt {x-n^2}\leq \frac {x}{2}$ , para $x\geq n^2$ . b) Halle reales $x,y,z$ tales que: $ 2\sqrt {x-1} +4\sqrt {y-4} + 6\sqrt {z-9} = x+y+z$

2 Sobre cada lado de un cuadrado $ABCD$ , consideramos tres puntos diferentes (entre sí). a) Halle el número de segmentos definidos con extremos en esos puntos , que no estén sobre los lados del cuadrado. b) Si no hay tres de los segmentos anteriores que pasen por el mismo punto, halle cuántos de los puntos de intersección de esos segmentos se encuentran en el interior del cuadrado.

3 Halle las soluciones enteras de la ecuación $8x^3 - 4 = y(6x - y^2)$

4 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y escaleno con $AB<AC$ , inscrito en un círculo $c(O,R)$ (con centro $O$ y radio $R$ ) . El círculo $c_1(A,AB)$ interseca al lado $BC$ en el punto $E$ y al círculo $c$ en el punto $F$ . $EF$ interseca por segunda vez al círculo $c$ en el punto $D$ y al lado $AC$ en el punto $M$ . $AD$ interseca a $BC$ en el punto $K$ . La circunferencia circunscrita del triángulo $BKD$ interseca a $AB$ en el punto $L$ . Demuestre que los puntos $K,L,M$ están sobre una recta paralela a $BF$ .

1 Un alumno tiene $7$ tarjetas de papel. Toma algunas de ellas y rompe cada una en $7$ pedazos. Luego, elige algunos de los pedazos de papel que tiene y los rompe nuevamente en $7$ pedazos. Continúa el mismo procedimiento muchas veces con los pedazos que tiene cada vez. ¿Podrá tener alguna vez $2009$ pedazos de papel?

2 Halle todos los reales $x,y,z$ tales que $\frac{x-2y}{y}+\frac{2y-4}{x}+\frac{4}{xy}=0$ y $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=2$ .

3 Dado un triángulo acutángulo y escaleno $ABC$ con $AB<AC$ y una recta aleatoria $(e)$ que pasa por el centro del círculo circunscrito $c(O,R)$ . La recta $(e)$ interseca los lados $BC,AC,AB$ en los puntos $A_1,B_1,C_1$ respectivamente (el punto $C_1$ está sobre la prolongación de $AB$ hacia $B$ ) . La perpendicular desde $A$ a la recta $(e)$ y $AA_1$ intersecan al círculo circunscrito $c(O,R)$ en los puntos $M$ y $A_2$ respectivamente. Demuestre que a) los puntos $O,A_1,A_2, M$ son concíclicos b) si $(c_2)$ es la circunferencia circunscrita del triángulo $(OBC_1)$ y $(c_3)$ es la circunferencia circunscrita del triángulo $(OCB_1)$ , entonces los círculos $(c_1),(c_2)$ y $(c_3)$ tienen una cuerda común

4 Coloreamos uno de los números $1,...,8$ con blanco o negro de acuerdo con las siguientes reglas: i) el número $4$ se colorea de blanco y al menos uno de los siguientes números se colorea de negro ii) si dos números $a,b$ se colorean con un color diferente y $a+b\le 8$ , entonces el número $a+b$ se colorea de negro. iii) si dos números $a,b$ se colorean con un color diferente y $a\cdot b\le 8$ , entonces el número $a\cdot b$ se colorea de blanco. Si según estas reglas todos los números se colorean, halle el color de cada número.