En un cuadrilátero convexo $ABCD$, $\angle ABC = \angle CDA$. Sea $X \neq C$ la intersección de la circunferencia circunscrita de $\triangle BCD$ y la circunferencia con diámetro $AC$. Demuestra que la tangente a la circunferencia circunscrita de $\triangle BCD$ en $X$, y la tangente a la circunferencia circunscrita de $\triangle ABD$ en $A$ concurren sobre $BD$.

1 El triángulo acutángulo $ABC$ con $AB\neq AC$ tiene circunferencia circunscrita $\Gamma$ , circuncentro $O$ y ortocentro $H$ . El punto medio de $BC$ es $M$ , y la prolongación de la mediana $AM$ interseca a $\Gamma$ en $N$ . El círculo de diámetro $AM$ interseca a $\Gamma$ nuevamente en $A$ y $P$ . Demuestre que las rectas $AP$ , $BC$ y $OH$ son concurrentes si y solo si $AH = HN$ .

G4 Sea $ABC$ un triángulo dado y sea $\ell$ una recta que corta a las rectas $BC$, $CA$ y $AB$ en $A_1$, $B_1$ y $C_1$, respectivamente. Sea $A'$ el punto medio del segmento que une las proyecciones de $A_1$ sobre las rectas $AB$ y $AC$. Construye de manera análoga los puntos $B'$ y $C'$. (a) Muestra que los puntos $A'$, $B'$ y $C'$ están alineados sobre una recta $\ell'$. (b) Muestra que si $\ell$ contiene al circuncentro del triángulo $ABC$, entonces $\ell'$ contiene al centro de su círculo de Euler.

1 Los números reales $a$ , $b$ , $c$ , $d$ satisfacen simultáneamente las ecuaciones \[abc -d = 1, \ \ \ bcd - a = 2, \ \ \ cda- b = 3, \ \ \ dab - c = -6.\] Demuestre que $a + b + c + d \not = 0$ .

3 Sean $AL$ y $BK$ bisectrices de ángulos en el triángulo no isósceles $ABC$ ( $L$ está sobre el lado $BC$ , $K$ está sobre el lado $AC$ ) . La mediatriz de $BK$ interseca la recta $AL$ en el punto $M$ . El punto $N$ está sobre la recta $BK$ tal que $LN$ es paralela a $MK$ . Demuestre que $LN = NA$ .

3 Los números $1, 2,\ldots, 2006$ se escriben alrededor de la circunferencia de un círculo. Un movimiento consiste en intercambiar dos números adyacentes. Después de una sucesión de tales movimientos, cada número termina $13$ posiciones a la derecha de su posición inicial. Si los números $1, 2,\ldots, 2006$ se particionan en $1003$ pares distintos, demuestre que en al menos uno de los movimientos se intercambiaron los dos números de uno de los pares.

1 (a) Para cada entero $k\ge 3$ , halle un entero positivo $n$ que pueda representarse como la suma de exactamente $k$ divisores positivos de $n$ distintos entre sí. (b) Suponga que $n$ puede expresarse como la suma de exactamente $k$ divisores positivos de $n$ distintos entre sí, para algún $k\ge 3$ . Sea $p$ el divisor primo más pequeño de $n$ . Demuestre que \[\frac1p+\frac1{p+1}+\cdots+\frac{1}{p+k-1}\ge1.\]

3 Sea $n \ge 3$ un entero. Una danza circular es una danza que se ejecuta de acuerdo con la siguiente regla: En el piso, se marcan $n$ puntos a distancias iguales a lo largo de una circunferencia grande. En cada uno de estos puntos hay una hoja de papel con una flecha que apunta en el sentido de las agujas del reloj o en sentido contrario. Uno de los puntos está etiquetado como "Inicio". El bailarín comienza en este punto. En cada paso, primero cambia la dirección de la flecha en su posición actual y luego se mueve al siguiente punto en la nueva dirección de la flecha. a) Demuestre que cada danza circular visita cada punto infinitas veces. b) ¿Cuántas danzas circulares diferentes hay? Se considera que dos danzas circulares son iguales si difieren solo en un número finito de pasos al comienzo y luego siempre visitan los mismos puntos en el mismo orden. (La sucesión común de pasos puede comenzar en momentos diferentes en las dos danzas.) (Birgit Vera Schmidt)

3 Sobre un tablero hay $n$ clavos, cada dos conectados por una cuerda. Cada cuerda está coloreada con uno de $n$ colores distintos dados. Para cada tres colores distintos, existen tres clavos conectados por cuerdas de esos tres colores. a) ¿Puede ser $n$ igual a $6$ ? b) ¿Puede ser $n$ igual a $7$ ?

2 Sean $k_1$ y $k_2$ dos círculos que se intersecan en dos puntos $A$ y $B$ , y sea $t$ una tangente común a $k_1$ y $k_2$ que toca a $k_1$ y $k_2$ en $M$ y $N$ respectivamente. Si $t\perp AM$ y $MN=2AM$ , calcule el ángulo $NMB$ .