4 Al principio, hay una circunferencia con tres puntos sobre ella. Los puntos están coloreados (en el sentido de las agujas del reloj): verde, azul, rojo. Jonathan puede realizar las siguientes acciones, tantas veces como quiera, en cualquier orden: Elegir dos puntos adyacentes de colores distintos, y añadir un punto entre ellos con uno solo de los dos colores. Elegir dos puntos adyacentes del mismo color, y añadir un punto entre ellos con cualquiera de los tres colores. Elegir tres puntos adyacentes, al menos dos de ellos del mismo color, y borrar el punto del medio. ¿Puede Jonathan alcanzar un estado en el que solo queden tres puntos en la circunferencia, coloreados (en el sentido de las agujas del reloj): azul, verde, rojo?

3 Sea $ABCDEF$ un hexágono convexo. En el hexágono hay un punto $K$ , tal que $ABCK,DEFK$ son ambos paralelogramos. Demuestre que las tres rectas que unen $A,B,C$ con los puntos medios de los segmentos $CE,DF,EA$ concurren en un punto.

4 Se nos da una fila de $n\geq7$ casillas. En las 3 casillas de más a la izquierda hay una ficha blanca en cada una, y en las 3 casillas de más a la derecha hay una ficha negra en cada una. Los jugadores blanco y negro juegan por turnos (empieza el blanco). En cada movimiento, un jugador puede tomar una ficha de su color y moverla a una casilla adyacente, siempre que no esté ocupada por una ficha del mismo color. Si la nueva casilla está vacía, no ocurre nada. Si la casilla está ocupada por una ficha del color contrario, ambas fichas son destruidas (tanto la blanca como la negra). El jugador que destruye las dos últimas fichas gana el juego. ¿Qué jugador tiene una estrategia ganadora, y cuál es? (La respuesta puede depender de $n$ )

5 Sea $p$ un polinomio con coeficientes enteros que satisface $p(16)=36,p(14)=16,p(5)=25$ . Determine todos los valores posibles de $p(10)$ .

5 La sucesión de Fibonacci $F_n$ se define por $F_1=F_2=1$ y la relación de recurrencia $F_n=F_{n-1}+F_{n-2}$ para todos los enteros $n\geq3$ . Sean $m,n\geq1$ enteros. Halle el grado mínimo $d$ para el cual existe un polinomio $f(x)=a_dx^d+a_{d-1}x^{d-1}+\dots+a_1x+a_0$ , que satisface $f(k)=F_{m+k}$ para todo $k=0,1,...,n$ .

6 Sea $n$ un entero positivo. Halle el número real máximo $k$ tal que se cumple lo siguiente: para cualesquiera $n$ números reales $x_1,x_2,...,x_n$ , tenemos $\sqrt{x_1^2+x_2^2+\dots+x_n^2}\geq k\cdot\min(|x_1-x_2|,|x_2-x_3|,...,|x_{n-1}-x_n|,|x_n-x_1|)$

7 Halle un valor real de $x$ que satisfaga $\frac{x^7}{7}=1+\sqrt[7]{10}x\left(x^2-\sqrt[7]{10}\right)^2$ .

2 Sea $A=\{n\in\mathbb{Z}\mid 0<n<2013\}$ . Un subconjunto $B\subseteq A$ se llama reducido si para cualesquiera dos números $x,y\in B$ , debemos tener $x\cdot y \notin B$ . Por ejemplo, cualquier subconjunto que contenga los números $3,5,15$ no puede ser reducido, y lo mismo para un subconjunto que contenga $4,16$ . Halle el tamaño máximo de un subconjunto reducido de $A$ . ¿Cuántos subconjuntos reducidos hay con ese tamaño máximo?

7 La sucesión de Fibonacci $F_n$ se define por $F_0=0,F_1=1$ y la relación de recurrencia $F_n=F_{n-1}+F_{n-2}$ para todos los enteros $n\geq2$ . Sea $p\geq3$ un número primo. Demuestre que $F_{p-1}+F_{p+1}-1$ es divisible por $p$ . Demuestre que $F_{p^{k+1}-1}+F_{p^{k+1}+1}-\left(F_{p^k-1}+F_{p^k+1}\right)$ es divisible por $p^{k+1}$ para cualquier entero positivo $k$ .

1 Considere el número $\left(101^2-100^2\right)\cdot\left(102^2-101^2\right)\cdot\left(103^2-102^2\right)\cdot...\cdot\left(200^2-199^2\right)$ . Determine su cifra de las unidades. Determine su cifra de las decenas.