12 Sea $ ABCD$ un cuadrilátero convexo con $ AB=AD$ y $ BC=CD$ . Sobre los lados $ AB,BC,CD,DA$ consideramos los puntos $ K,L,L_1,K_1$ tales que el cuadrilátero $ KLL_1K_1$ es un rectángulo. Luego considere rectángulos $ MNPQ$ inscritos en el triángulo $ BLK$ , donde $ M\in KB,N\in BL,P,Q\in LK$ y $ M_1N_1P_1Q_1$ inscrito en el triángulo $ DK_1L_1$ , donde $ P_1$ y $ Q_1$ están situados sobre $ L_1K_1$ , $ M$ sobre $ DK_1$ y $ N_1$ sobre $ DL_1$ . Sean $ S,S_1,S_2,S_3$ las áreas de $ ABCD,KLL_1K_1,MNPQ,M_1N_1P_1Q_1$ respectivamente. Halle el máximo valor posible de la expresión: $ \frac{S_1+S_2+S_3}{S}$

13 Sean $ A_1,A_2,...,A_{2002}$ puntos arbitrarios en el plano. Demuestre que para todo círculo de radio $ 1$ y para todo rectángulo inscrito en este círculo, existen $3$ vértices $ M,N,P$ del rectángulo tales que $ MA_1 + MA_2 + \cdots + MA_{2002} + $ $NA_1 + NA_2 + \cdots + NA_{2002} + $ $PA_1 + PA_2 + \cdots + PA_{2002}\ge 6006$ .

U4/L6 Dado que $\sqrt{x(100-x)}+\sqrt{(121-x)(x-1)}\le \sqrt n$ para todo $1\le x\le 100,$ calcule el valor mínimo posible de $n.$

4 Sea $ABC$ un triángulo, con $AB\neq AC$ . Sean $O_1$ y $O_2$ los centros de las circunferencias $\omega_1$ y $\omega_2$ con diámetros $AB$ y $BC$ , respectivamente. Se elige un punto $P$ sobre el segmento $BC$ tal que $AP$ interseca a $\omega_1$ en el punto $Q$ , con $Q\neq A$ . Demuestre que $O_1$ , $O_2$ y $Q$ son colineales si y solo si $AP$ es la bisectriz del ángulo $\angle BAC$ .

1 En el triángulo rectángulo $ABC$ con lado menor $AC$ , la hipotenusa $AB$ tiene longitud $12$ . Denote por $T$ su baricentro y por $D$ el pie de la altura trazada desde el vértice $C$ . Determine el tamaño de su ángulo interior en el vértice $B$ para el cual el triángulo $DTC$ tiene la mayor área posible.

5 Halle la menor constante real $p$ para la cual la desigualdad $\sqrt{ab}- \frac{2ab}{a + b} \le p \left( \frac{a + b}{2} -\sqrt{ab}\right)$ se cumple para cualesquiera números reales positivos $a, b$ .

1 Sea $p$ un número primo, y sea $X$ el conjunto de los cubos módulo $p$ , incluido $0$ . Denote por $C_2(k)$ el número de pares ordenados $(x, y) \in X \times X$ tales que $x + y \equiv k \pmod p$ . Análogamente, denote por $C_3(k)$ el número de ternas ordenadas $(x, y, z) \in X \times X \times X$ tales que $x + y + z \equiv k \pmod p$ . Demuestre que existen enteros $a, b$ tales que para todo $k$ que no esté en $X$ , se tiene \[ C_3(k) = a\cdot C_2(k) + b. \] Propuesto por Murilo Corato, Brasil.

2 Decida si los vértices de un $30$ -ágono regular pueden numerarse con los números $1, 2,.., 30$ de tal manera que la suma de los números de cada dos vecinos sea un cuadrado de algún número natural.

3 Los números reales $x, y$ satisfacen la desigualdad $x^2 + y^2 \le 2$ . Demuestre que $xy + 3 \ge 2x + 2y$

4 Sea $ABC$ un triángulo rectángulo con $\angle ACB=90^o$ . Sean $E, F$ respectivamente los puntos medios de $BC, AC$ y sea $CD$ su altura. Luego, sea $P$ la intersección de la bisectriz interior del ángulo en $A$ con la recta $EF$ . Demuestre que $P$ es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo $CDE$ .