G1 Dado un paralelogramo $ABCD$ . La recta perpendicular a $AC$ que pasa por $C$ y la recta perpendicular a $BD$ que pasa por $A$ se intersecan en el punto $P$ . El círculo con centro en el punto $P$ y radio $PC$ interseca a la recta $BC$ en el punto $X$ , ( $X \ne C$ ) y a la recta $DC$ en el punto $Y$ , ( $Y \ne C$ ) . Demuestre que la recta $AX$ pasa por el punto $Y$ .

1 Una liga consta de $2024$ jugadores. Una ronda consiste en dividir a los jugadores en dos equipos diferentes y hacer que cada miembro de un equipo juegue contra cada miembro del otro equipo. Una ronda se llama balanceada si ambos equipos tienen el mismo número de jugadores. Un torneo consta de varias rondas al final de las cuales cualesquiera dos jugadores han jugado entre sí. El comité organizó el año pasado un torneo que constaba de $N$ rondas. Demuestre que el comité puede organizar este año un torneo con $N$ rondas balanceadas. Propuesto por Anant Mudgal y Navilarekallu Tejaswi

3 Halle todas las ternas de enteros positivos $(x, y, z)$ que satisfacen la ecuación $$2020^x + 2^y = 2024^z.$$ Propuesto por Ognjen Tešić, Serbia

6 Sea $ABC$ un triángulo con punto medio $M$ de $BC$ . Un punto $X$ se llama inmaculado si la recta perpendicular desde $X$ a la recta $MX$ interseca a las rectas $AB$ y $AC$ en dos puntos que son equidistantes de $M$ . Suponga que $U, V, W$ son tres puntos inmaculados sobre la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ . Demuestre que $M$ es el incentro de $\triangle UVW$ . Propuesto por Pranjal Srivastava y Rohan Goyal

9 Sean $x_1,x_2, ..., x_n$ números reales que satisfacen $\sum_{k=1}^{n-1} min(x_k; x_{k+1}) = min(x_1; x_n)$ . Demuestre que $\sum_{k=2}^{n-1} x_k \ge 0$ .

4 Tres amigos, Archie, Billie y Charlie, juegan un juego. Al comienzo del juego, cada uno de ellos tiene un montón de $2024$ guijarros. Archie hace el primer movimiento, Billie el segundo, Charlie el tercero y continúan haciendo movimientos en el mismo orden. En cada movimiento, el jugador que lo realiza debe elegir un entero positivo $n$ mayor que cualquier número elegido anteriormente por cualquier jugador, tomar $2n$ guijarros de su montón y distribuirlos por igual entre los otros dos jugadores. Si un jugador no puede realizar un movimiento, el juego termina y ese jugador pierde el juego. $\hspace{5px}$ Determine todos los jugadores que tienen una estrategia tal que, sin importar cómo jueguen los otros dos jugadores, no perderán el juego. Propuesto por Ilija Jovčeski, Macedonia

4 Demuestre que no existen enteros $x, y, z$ que satisfagan la ecuación $$x^2+y^2-z^2=xyz-2.$$ Propuesto por Navid Safaei

3 Sea $n \ge 3$ un entero. Sea $\mathcal{P}$ el conjunto de vértices de un $n$ - ágono regular en el plano. Un polinomio $f(x, y)$ de dos variables con coeficientes reales se llama $\textit{regular}$ si $$\mathcal{P} = \{(u, v) \in \mathbb{R}^2 \, | \, f(u, v) = 0 \}.$$ Halle el menor valor posible del grado de un polinomio regular. Propuesto por Navid Safaei

4 Hay $200$ cajas sobre la mesa. Al principio, cada una de las cajas contiene un entero positivo (los enteros no son necesariamente distintos). Cada minuto, Alicia hace un movimiento. Un movimiento consiste en lo siguiente. Primero, elige una caja $X$ que contiene un número $c$ tal que $c = a + b$ para algunos números $a$ y $b$ que están contenidos en otras cajas. Luego elige un entero positivo $k > 1$. Finalmente, quita $c$ de $X$ y lo reemplaza por $kc$. Si no puede hacer ningún movimiento, se detiene. Demuestra que no importa cómo Alicia haga sus movimientos, no podrá hacer infinitos movimientos.

1 Halle todos los enteros $m$ y $n$ tales que la quinta potencia de $m$ menos la quinta potencia de $n$ sea igual a $16mn$ .