4 Dado dos puntos $P$ y $Q$ que están separados por una unidad. Para cualesquiera puntos $A_1,\ldots, A_n$ en el espacio, sea $S_p=\sum\limits_{i=1}^n PA_i$ y $S_q=\sum\limits_{i=1}^n QA_i$, demuestra que \[n+\dfrac{S_p^2-S_q^2}{n}\le2\max\{S_p,S_q\}.\]

48 Demuestra que $\sqrt 2 +\sqrt 3 +\sqrt{1990}$ es irracional. Amir

$AB, AC$ son dos cuerdas del círculo con centro en $O$. El diámetro, que es perpendicular a $BC$, interseca a $AB, AC$ en $F, G$ respectivamente ($F$ está dentro del círculo). La tangente desde $G$ toca el círculo en $T$. Demuestra que $F$ es la proyección de $T$ sobre $OG$.

50 Durante el intervalo de clase, $n$ niños se sientan en un círculo y juegan el juego descrito abajo. El profesor camina alrededor de los niños en sentido horario y les reparte dulces según las siguientes reglas: Selecciona a un niño, le da un dulce; y también le da un dulce al niño que está al lado del primer niño; luego salta a un niño y le da un dulce al siguiente; luego salta a dos niños; le da un dulce al siguiente niño; luego salta a tres niños; le da un dulce al siguiente niño;... Encuentra el valor de $n$ para el cual el profesor puede asegurar que cada niño reciba al menos un dulce eventualmente (quizás después de muchas vueltas). Amir

51 Determina para qué enteros positivos \( k \) el conjunto \[ X = \{1990, 1990 + 1, 1990 + 2, \ldots, 1990 + k\}\] puede particionarse en dos subconjuntos disjuntos \( A \) y \( B \) tales que la suma de los elementos de \( A \) sea igual a la suma de los elementos de \( B \).

52 Sean números reales $a_1, a_2, \ldots, a_n$ que satisfacen $0 < a_i \leq a, \ i = 1, 2, \ldots, n$. Demuestra que (i) Si $n = 4$, entonces \[\frac 1a \sum_{i=1}^4 a_i - \frac{a_1a_2 + a_2a_3 + a_3 a_4 + a_4 a_1}{a^2} \leq 2.\] (ii) Si $n = 6$, entonces \[\frac 1a \sum_{i=1}^6 a_i - \frac{a_1a_2 + a_2a_3 + \cdots + a_5 a_6 + a_6 a_1}{a^2} \leq 3.\] Amir

53 Encuentra la(s) solución(es) real(es) del sistema de ecuaciones \[\begin{cases}x^3+y^3 &=1\\x^5+y^5 &=1\end{cases}\] Amir

5 Demuestra que cualquier triángulo semejante al triángulo $ABC$ puede colocarse sobre papel cuadriculado con sus vértices en los vértices de la cuadrícula. Las condiciones necesarias y suficientes son que $\dfrac{S}{a^2}$ , $\dfrac{S}{b^2}$ , y $\dfrac{S}{c^2}$ sean números racionales. Donde $S$ es el área del triángulo $ABC$ , y $a$ , $b$ , y $c$ son los lados.

54 Sea $M = \{1, 2, \ldots, n\}$ y $\phi : M \to M$ una biyección. (i) Demuestra que existen biyecciones $\phi_1, \phi_2 : M \to M$ tales que $\phi_1 \cdot \phi_2 = \phi$, $\phi_1^2 = \phi_2^2 = E$, donde $E$ es la aplicación identidad. (ii) Demuestra que la conclusión en (i) también es cierta si $M$ es el conjunto de todos los enteros positivos. Amir

55 Dados los puntos $A, M, M_1$ y el número racional $\lambda \neq -1$. Construye el triángulo $ABC$, tal que $M$ esté en $BC$ y $M_1$ esté en $B_1C_1$ ($B_1, C_1$ son las proyecciones de $B, C$ sobre $AC, AB$ respectivamente), y $\frac{BM}{MC}=\frac{B_1M_1}{M_1C_1}=\lambda.$