2. Sea $f : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ una función que satisface la siguiente condición: para cada $k > 2026$ , el número $f(k)$ es igual al número máximo de veces que un número aparece en la lista $f(1), f(2), \dots, f(k-1)$ . Demuestre que \[ f(n) = f(n + f(n)) \] para infinitos $n \in \mathbb{N}$ . (Aquí $\mathbb{N}$ denota el conjunto $\{1, 2, 3, \dots\}$ de los enteros positivos.) Propuesto por Anant Mudgal Pi-Infinity

4. Dos enteros $a$ y $b$ se llaman compañeros si todo número primo $p$ divide a ambos o a ninguno de $a, b$ . Determine todas las funciones $f : \mathbb{N}_0 \to \mathbb{N}_0$ tales que $f(0) = 0$ y los números $f(m) + n$ y $f(n) + m$ son compañeros para todos los $m, n \in \mathbb{N}_0$ . (Aquí $\mathbb{N}_0$ denota el conjunto de todos los enteros no negativos.) Propuesto por Anant Mudgal Pi-Infinity

1. Sea $x_1, x_2, x_3, \dots$ una sucesión de enteros positivos definida de la siguiente manera: $x_1 = 1$ y para cada $n \geq 1$ tenemos \[ x_{n+1} = x_n + \lfloor \sqrt{x_n} \rfloor. \] Determine todos los enteros positivos $m$ para los cuales $x_n = m^2$ para algún $n \geq 1$ . (Aquí $\lfloor x \rfloor$ denota el mayor entero menor o igual que $x$ para todo número real $x$ . ) Propuesto por Anant Mudgal, Mrudul Thatte y Siddhartha Choppara Pi-Infinity

5. Tres rectas $\ell_1, \ell_2, \ell_3$ forman un triángulo acutángulo $\mathcal{T}$ en el plano. El punto $P$ se encuentra en el interior de $\mathcal{T}$ . Sea $\tau_i$ la transformación del plano tal que la imagen $\tau_i(X)$ de cualquier punto $X$ del plano es la reflexión de $X$ en $\ell_i$ , para cada $i \in \{1, 2, 3\}$ . Denote por $P_{ijk}$ el punto $(\tau_k(\tau_j(\tau_i(P))))$ para cada permutación $(i, j, k)$ de $(1, 2, 3)$ . Demuestre que $P_{123}, P_{132}, P_{213}, P_{231}, P_{312}, P_{321}$ son concíclicos si y solo si $P$ coincide con el ortocentro de $\mathcal{T}$ . Propuesto por Anant Mudgal y Siddharth Choppara Pi-Infinity

6. Dos mazos $\mathcal{A}$ y $\mathcal{B}$ de 40 cartas cada uno se colocan sobre una mesa al mediodía. Cada minuto posterior, tomamos las cartas superiores $a \in \mathcal{A}$ y $b \in \mathcal{B}$ y realizamos un duelo. Para cualesquiera dos cartas $a \in \mathcal{A}$ y $b \in \mathcal{B}$ , cada vez que $a$ y $b$ se enfrentan, el resultado permanece igual y es independiente de todos los demás duelos. Un duelo tiene tres resultados posibles: $\bullet$ Si una carta gana, se coloca de nuevo en la parte superior de su mazo y la carta perdedora se coloca en la parte inferior de su mazo. $\bullet$ Si $a$ y $b$ están igualados, ambas se retiran de sus respectivos mazos. $\bullet$ Si $a$ y $b$ no interactúan entre sí, entonces ambas se colocan en la parte inferior de sus respectivos mazos. El proceso termina cuando ambos mazos están vacíos. Un proceso se llama juego si termina. Demuestre que el tiempo máximo que puede durar un juego es igual a 356 horas. Propuesto por Anant Mudgal y Navilarekallu Tejaswi Pi-Infinity

3 Sea $n \ge 2$ un entero, y sea $m$ un entero con $m \ge 2n$ . Entre los vértices de un $m$ -ágono regular, elija $2n$ vértices distintos, y coloree $n$ de ellos de rojo y los $n$ restantes de azul. Suponga que se cumple la siguiente condición: Para cualesquiera dos vértices rojos distintos y cualesquiera dos vértices azules distintos, la distancia entre los dos vértices rojos es diferente de la distancia entre los dos vértices azules. Determine, en términos de $n$ , el menor valor posible de $m$ .

4 Determine todas las funciones $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ que satisfacen \[ f(x^2 + f(y)^2) + 2f(x)y = f\bigl(x + f(y)\bigr)^2 \] para todos los números reales $x$ y $y$ .

. Sean $a, b$ números reales no negativos tales que $a+b=1$ . Demuestre la desigualdad \[\frac{a^{2}+b^{2}}{2} \leqslant a^{3}+b^{3}.\] P2. Un club de matemáticas consta de dos niñas y siete niños. ¿De cuántas maneras se pueden dividir estas nueve personas en tres grupos de tres personas cada uno, de modo que cada grupo contenga al menos dos niños? P3. Sea $s(x)$ la suma de los dígitos de un número natural $x$ . Por ejemplo, $s(2025)=2+0+2+5=9$ . Demuestre que la ecuación \[s(n^{2})+2s(n+2)=2025\] no tiene soluciones en el conjunto de los números naturales. P4. Sea $ABCD$ un cuadrado. Una circunferencia con centro en $C$ y radio $CB$ interseca a la circunferencia con diámetro $AB$ en el punto $E$ . Si $AB=2$ , halle $AE$ .

2 Sea $a_1, a_2, \dots$ una sucesión de enteros positivos impares que satisface la siguiente condición: Para todo entero positivo $n$ , el menor entero impar mayor que $a_{n+1}$ y primo relativo con $a_{n}$ es igual a $a_{n+2}$ . Demuestre que existe una constante positiva $C$ tal que \[ |a_n - 2n| \le C \] para todos los enteros positivos $n$ .

1er nivel Cada respuesta correcta vale 1 punto.