3 En el país hay $N$ ciudades y algunos pares de ciudades están conectados por aerolíneas de dos vías (cada par con no más de una). Cada aerolínea pertenece a una de $k$ compañías. Resulta que es posible llegar de cualquier ciudad a cualquier otra, pero esto falla cuando eliminamos todas las aerolíneas que pertenecen a cualquiera de las compañías. ¿Cuál es el número máximo posible de aerolíneas en el país?

1 Sobre una circunferencia hay $1000$ puntos marcados, cada uno coloreado con uno de $k$ colores. Se sabe que entre cualesquiera $5$ segmentos que se cortan dos a dos, cuyos extremos son $10$ puntos marcados distintos, hay al menos $3$ segmentos cuyos extremos están coloreados con colores diferentes. Determine el menor valor posible de $k$ para el cual esto es posible.

4 Se dan un número natural $n>4$ y $2n+4$ cartas numeradas con $1, 2, \dots, 2n+4$ . En la carta con el número $m$ está escrito un número real $a_m$ tal que $\lfloor a_{m}\rfloor=m$ . Demuestre que es posible elegir $4$ cartas de modo que la suma de los números de las dos primeras cartas difiera de la suma de los números de las dos cartas restantes en menos de $$\frac{1}{n-\sqrt{\frac{n}{2}}}$$ .

5 Los reales $b>0$ y $a$ son tales que la cuadrática $x^2+ax+b$ tiene dos raíces reales distintas, exactamente una de las cuales está en el intervalo $[-1;1]$ . Demuestre que una de las raíces está en el intervalo $(-b;b)$ .

5 Una maestra y sus 30 estudiantes juegan un juego en una cuadrícula infinita de celdas. La maestra comienza primero, luego cada uno de los 30 estudiantes hace un movimiento, luego la maestra, y así sucesivamente. En un movimiento, la persona puede colorear un segmento unitario de la cuadrícula. Un segmento no puede colorearse dos veces. La maestra gana si, después del movimiento de uno de los 31 jugadores, hay un rectángulo de $1\times 2$ o $2\times 1$ tal que cada segmento de su borde esté coloreado, pero el segmento entre los dos cuadrados adyacentes no esté coloreado. Demuestre que la maestra puede ganar.

6 Se da un polinomio $P(x)$ de grado $n>1$ con coeficientes reales. La ecuación $P(P(P(x)))=P(x)$ tiene $n^3$ raíces reales distintas. Demuestre que estas raíces se pueden dividir en dos grupos con igual media aritmética.

7 Igual que 9.7

8 Se da un pentágono cíclico $ABCDE$ inscrito en una circunferencia $k$ . La recta $CD$ corta a $AB$ y a $AE$ en $X$ e $Y$ , respectivamente. Los segmentos $EX$ y $BY$ se cortan nuevamente en $P$ , y cortan a $k$ en $Q$ y $R$ , respectivamente. El punto $A'$ es la reflexión de $A$ respecto a $CD$ . Las circunferencias $(PQR)$ y $(A'XY)$ se cortan en $M$ y $N$ . Demuestre que $CM$ y $DN$ se cortan sobre $(PQR)$ .

1 Para algún entero positivo $n>m$ , resulta que es representable como suma de $2021$ potencias enteras no negativas de $m$ , y que es representable como suma de $2021$ potencias enteras no negativas de $m+1$ . Halle el valor máximo del entero positivo $m$ .

2 Sea $P(x)$ un polinomio no nulo de grado $n>1$ con coeficientes no negativos tal que la función $y=P(x)$ es impar. ¿Es posible que para algunos puntos dos a dos distintos $A_{1}, A_{2}, \dots A_{n}$ sobre la gráfica $G: y = P(x)$ se cumplan las siguientes condiciones: la tangente a $G$ en $A_{1}$ pasa por $A_{2}$ , la tangente a $G$ en $A_{2}$ pasa por $A_{3}$ , $\dots$ , la tangente a $G$ en $A_{n}$ pasa por $A_{1}$ ?