8 En el triángulo $ABC$ , con $AB<AC$ , $I$ es el incentro y $E$ es la intersección de la $A$ -circunferencia exinscrita con $BC$ . El punto $F$ está sobre la bisectriz exterior del ángulo $BAC$ tal que $E$ y $F$ están del mismo lado de la recta $AI$ y $\angle AIF=\angle AEB$ . El punto $Q$ está sobre $BC$ tal que $\angle AIQ=90$ . La circunferencia $\omega_b$ es tangente a $FQ$ y a $AB$ en $B$ , la circunferencia $\omega_c$ es tangente a $FQ$ y a $AC$ en $C$ , y ambas circunferencias pasan por el interior del triángulo $ABC$ . Si $M$ es el punto medio del arco $BC$ que no contiene a $A$ , demuestre que $M$ está sobre el eje radical de $\omega_b$ y $\omega_c$ . Propuesto por Amirmahdi Mohseni

2 En el grafo simple y conexo $G$ , sea $x_i$ el número de vértices de grado $i$ . Sea $d>3$ el mayor grado en el grafo $G$ . Demuestre que si: $$x_d \ge x_{d-1} + 2x_{d-2}+... +(d-1)x_1$$ entonces existe un vértice de grado $d$ tal que, después de eliminar ese vértice, el grafo $G$ sigue siendo conexo. Propuesto por Ali Mirzaie Mr.C

12 Suponga que $A$ es el conjunto de todos los intervalos cerrados $[a,b] \subset \mathbb{R}$ . Halle todas las funciones $f:\mathbb{R} \rightarrow A$ tales que $\bullet$ $x \in f(y) \Leftrightarrow y \in f(x)$ $\bullet$ $|x-y|>2 \Leftrightarrow f(x) \cap f(y)=\varnothing$ $\bullet$ Para todos los números reales $0\leq r\leq 1$ , $f(r)=[r^2-1,r^2+1]$ Propuesto por Matin Yousefi

1 Dados $12$ números complejos $z_1,...,z_{12}$ tales que para cada $1 \leq i \leq 12$ : $$|z_i|=2 , |z_i - z_{i+1}| \geq 1$$ demuestre que : $$\sum_{1 \leq i \leq 12} \frac{1}{|z_i\overline{z_{i+1}}+1|^2} \geq \frac{1}{2}$$

10 Llamamos bueno a un conjunto infinito $S\subseteq\mathbb{N}$ si para todos los enteros $a,b,c\in S$ distintos por pares, todos los divisores positivos de $\frac{a^c-b^c}{a-b}$ están en $S$ . Para todo entero positivo $n>1$ , demuestre que existe un conjunto bueno $S$ tal que $n \not \in S$ . Propuesto por Seyed Reza Hosseini Dolatabadi

9 Considere $n\geq 6$ puntos $x_1,x_2,\dots,x_n$ en el plano tales que no haya tres de ellos colineales. Llamamos a un grafo con vértices $x_1,x_2,\dots,x_n$ una "red vial" si es conexo, cada arista es un segmento de recta y no hay dos aristas que se intersequen entre sí en puntos distintos de los vértices. Demuestre que existen tres redes viales $G_1,G_2,G_3$ tales que $G_i$ y $G_j$ no tienen ninguna arista en común para $1\leq i,j\leq 3$ . Propuesto por Morteza Saghafian

g3 Sea $ABC$ cualquier triángulo con punto $D$ en el lado $BC$ tal que $BD=\frac12 CD$. Si las longitudes de los lados $BC$, $AC$ y $AB$ son iguales a $a$, $b$ y $c$ respectivamente, entonces demuestra que $$|AD|^2 = \frac13 \left(2c^2+b^2-\frac23 a \right)$$

3 Existen $4$ enteros positivos $a,b,c,d$ tales que $abcd \neq 1$ y cada par de ellos tiene MCD $1$ . Dos funciones $f,g : \mathbb{N} \rightarrow \{0,1\}$ son funciones multiplicativas tales que para cada entero positivo $n$ tenemos: $$f(an+b)=g(cn+d)$$ Demuestre que se cumple al menos una de las siguientes afirmaciones. $i)$ para cada entero positivo $n$ tenemos $f(an+b)=g(cn+d)=0$ $ii)$ Existe un entero positivo $k$ tal que para todo $n$ con $(n,k)=1$ tenemos $g(n)=f(n)=1$ (La función $f$ es multiplicativa si para cualesquiera números naturales $a,b$ tenemos $f(ab)=f(a)f(b)$ ) Propuesto por Navid Safaii Mr.C

1 Se colocan números naturales en una cuadrícula infinita, de modo que el número en cada celda sea igual al número de sus celdas adyacentes que tienen el mismo número. Halle la mayor cantidad de números distintos que puede tener esta cuadrícula infinita. (Dos celdas de la cuadrícula son adyacentes si comparten un vértice) Mr.C

2 Halle todas las funciones $f : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ tales que para cualesquiera dos enteros positivos $m,n$ tenemos: $$f(n)+1400m^2|n^2+f(f(m))$$ Mr.C