2 Para un conjunto finito $A$ de enteros positivos, una partición de $A$ en dos subconjuntos no vacíos y disjuntos $A_1$ y $A_2$ es $\textit{good}$ si el mínimo común múltiplo de los elementos de $A_1$ es igual al máximo común divisor de los elementos de $A_2$ . Determine el valor mínimo de $n$ tal que existe un conjunto de $n$ enteros positivos con exactamente $2015$ particiones buenas.

5 Sea $\left \{ c_i \right \}_{i=0}^{\infty}$ una sucesión de números reales no negativos con $c_{2017}>0$ . Se define una sucesión de polinomios como $$P_{-1}(x)=0 \ , \ P_0(x)=1 \ , \ P_{n+1}(x)=xP_n(x)+c_nP_{n-1}(x).$$ Demuestre que no existe ningún entero $n>2017$ ni un número real $c$ tales que $$P_{2n}(x)=P_n(x^2+c).$$ Propuesto por Navid Safaei

2 Sea $ABC$ un triángulo arbitrario y $O$ el circuncentro de $\triangle {ABC}$ . Los puntos $X,Y$ están sobre $AB,AC$ , respectivamente, tales que la reflexión de $BC$ con respecto a $XY$ es tangente a la circunferencia circunscrita de $\triangle {AXY}$ . Demuestre que la circunferencia circunscrita del triángulo $AXY$ es tangente a la circunferencia circunscrita del triángulo $BOC$ .

3 Sea $p \neq 13$ un número primo de la forma $8k+5$ tal que $39$ es un no residuo cuadrático módulo $p$ . Demuestre que la ecuación $$x_1^4+x_2^4+x_3^4+x_4^4 \equiv 0 \pmod p$$ tiene una solución en enteros tal que $p\nmid x_1x_2x_3x_4$ .

6 Sea $\mathbb{Z}_{>0}$ el conjunto de los enteros positivos. Para cualquier entero positivo $k$ , una función $f: \mathbb{Z}_{>0} \to \mathbb{Z}_{>0}$ se llama $k$ - buena si $\gcd(f(m) + n, f(n) + m) \le k$ para todos $m \neq n$ . Encuentre todos los $k$ tales que existe una función $k$ - buena. Propuesto por James Rickards, Canada

5 Sean $P$ y $P '$ dos polígonos regulares de $n-$ lados desiguales y $A$ y $A'$ dos puntos dentro de $P$ y $ P '$ , respectivamente.Suponga que $\{ d_1 , d_2 , \cdots d_n \}$ son las distancias desde $A $ a los vértices de $P$ y $\{ d'_1 , d'_2 , \cdots d'_n \}$ se definen de manera similar para $P',A'$ . ¿Es posible que $\{ d'_1 , d'_2 , \cdots d'_n \}$ sea una permutación de $\{ d_1 , d_2 , \cdots d_n \}$ ?

1 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y sea $M$ el punto medio de $AC$ . Un círculo $\omega$ que pasa por $B$ y $M$ corta los lados $AB$ y $BC$ en los puntos $P$ y $Q$ respectivamente. Sea $T$ el punto tal que $BPTQ$ es un paralelogramo. Suponga que $T$ está sobre la circunferencia circunscrita de $ABC$ . Determine todos los valores posibles de $\frac{BT}{BM}$ .

4 Sea $ABC$ un triángulo con $CA \neq CB$ . Sean $D$ , $F$ y $G$ los puntos medios de los lados $AB$ , $AC$ y $BC$ respectivamente. Un círculo $\Gamma$ que pasa por $C$ y es tangente a $AB$ en $D$ corta los segmentos $AF$ y $BG$ en $H$ e $I$ , respectivamente. Los puntos $H'$ e $I'$ son simétricos a $H$ e $I$ con respecto a $F$ y $G$ , respectivamente. La recta $H'I'$ corta a $CD$ y $FG$ en $Q$ y $M$ , respectivamente. La recta $CM$ corta de nuevo a $\Gamma$ en $P$ . Demuestre que $CQ = QP$ . Propuesto por El Salvador

2 Sean $a,b,c,d$ números reales positivos tales que $\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}+\frac{1}{d+1}=2$ . Demuestre que $$\sum_{cyc} \sqrt{\frac{a^2+1}{2}} \geq (3.\sum_{cyc} \sqrt{a}) -8$$

1 A cada celda de una tabla de $n \times n$ se le ha asignado una función real. Demuestre que se puede asignar una función a cada fila y a cada columna de esta tabla tal que la función asignada a cada celda sea equivalente a la combinación de las funciones asignadas a la fila y a la columna que la contienen.