10 Sea $r>0$ un número real. Llamamos $r$ - good a un polinomio mónico con coeficientes complejos si todas sus raíces tienen valor absoluto a lo sumo $r$ . Llamamos primordial a un polinomio mónico con coeficientes complejos si todos sus coeficientes tienen valor absoluto a lo sumo $1$ . a) Demuestre que todo polinomio $1$ - good tiene un múltiplo primordial. b) Si $r>1$ , demuestre que existe un polinomio $r$ - good que no tiene un múltiplo primordial. Propuesto por Pranjal Srivastava Rijul

G1 Las tangentes a la circunferencia circunscrita de $\triangle ABC$ en $B$ y $C$ se encuentran en $D$ . La circunferencia circunscrita de $\triangle BCD$ se encuentra con los lados $AC$ y $AB$ nuevamente en $E$ y $F$ respectivamente. Sea $O$ el circuncentro de $\triangle ABC$ . Muestre que $AO$ es perpendicular a $EF$ .

1 Halle todos los enteros positivos $n$ con la siguiente propiedad: para todos los divisores positivos $d$ de $n$ , se tiene que $d+1\mid n$ o $d+1$ es primo. KevinYang2.71

. Halle la suma de los coeficientes del polinomio $f(x)$ si $f(x)=(x^{3}-4x^{2}+4)^{2004}(2x-3)^{2005}$ . P2. En un cuadrilátero $ABCD$ con $AB$ no paralelo a $CD$ , sea $E$ el punto medio de $AB$ y $F$ el punto medio de $CD$ . Demuestre que los puntos medios de los segmentos $AF$ , $CE$ , $BF$ y $DE$ son los vértices de un paralelogramo. P3. Dados $n+1$ números naturales distintos, todos menores que $2n$ , demuestre que siempre se pueden elegir dos cuya razón sea una potencia de $2$ .

5 Sea $ABC$ un triángulo escaleno acutángulo con circunferencia circunscrita $\Gamma$ , y sea $M$ el punto medio de $BC$ . Sea $\omega$ la circunferencia circunscrita del triángulo formado por $BC$ y las dos tangentes externas comunes de las circunferencias circunscritas $ABM$ y $ACM$ . Demuestre que la bisectriz interior de $\angle BAC$ y la mediatriz de $AM$ se intersecan sobre el eje radical de $\omega$ y $\Gamma$ . Ruben Carpenter

C1 Un peón es una pieza de ajedrez que ataca las dos casillas en diagonal frente a él. ¿Cuál es el número máximo de peones que pueden colocarse en un tablero de ajedrez $n \times n$ de modo que no haya dos peones que se ataquen entre sí?

4 ¿Cuántas soluciones tiene el sistema: $ \{\begin{matrix}&(3x+2y) *(\frac{3}{x}+\frac{1}{y})=2\\ & x^2+y^2\leq 2012\\ \end{matrix} $ donde $ x,y $ son enteros distintos de cero

11 Hay $n\ge 3$ partículas sobre una circunferencia situadas en los vértices de un $n$ -ágono regular. Todas estas partículas se mueven sobre la circunferencia con la misma rapidez constante. Una de las partículas se mueve en el sentido de las manecillas del reloj mientras que todas las demás se mueven en sentido contrario. Cuando las partículas colisionan, es decir, están todas en el mismo punto, todas invierten la dirección de su movimiento y continúan con la misma rapidez de antes. Sea $s$ el menor número de colisiones después del cual todas las partículas regresan a sus posiciones originales. Halle $s$ . Propuesto por N.V. Tejaswi

1 Encuentra el número de múltiplos de $4$ que se pueden formar usando exactamente una vez cada uno de los dígitos $1, 2, 3, 4, 5, 6$ y $7$.

7 Sean $ m$ y $ n$ enteros positivos con $ m > n \geq 2.$ Sea $ S = \{1, 2, \ldots, m\},$ y $ T = \{a_l, a_2, \ldots, a_n\}$ es un subconjunto de S tal que cada número en $ S$ no es divisible por cualesquiera dos números distintos de $ T.$ Demuestre que \[ \sum^n_{i = 1} \frac {1}{a_i} < \frac {m + n}{m}.\]