8 Para un entero $n$ , $\sigma(n)$ denota la suma de los divisores positivos de $n$ . Una sucesión de enteros positivos $(a_i)_{i=0}^{\infty}$ con $a_0 =1$ se define como sigue: para cada $n>1$ , $a_n$ es el menor entero mayor que $1$ que satisface $$\sigma{(a_0a_1\dots a_{n-1})} \vert \sigma{(a_0a_1\dots a_{n})}.$$ Determine el número de divisores de $2024^{2024}$ que aparecen en la sucesión.

2 En un jardín, organizado como un tablero $2024\times 2024$ , plantamos tres tipos de flores: rosas, margaritas y orquídeas. Queremos plantar flores de modo que se satisfagan las siguientes condiciones: (i) En cada casilla se planta a lo sumo un tipo de flor. Algunas casillas pueden dejarse vacías y sin plantar. (ii) Para cada casilla plantada $A$ , existen exactamente $3$ otras casillas plantadas en la misma columna o fila tales que esas $3$ casillas están plantadas con flores de tipos distintos del de $A$ . (iii) Cada flor se planta en al menos $1$ casilla. ¿Cuál es el número máximo de casillas que pueden plantarse con flores?

1 Halle la menor constante $C > 1$ tal que se cumple la siguiente afirmación: para todo entero $n \geq 2$ y toda sucesión de números reales positivos no enteros $a_1, a_2, \dots, a_n$ que satisfacen $$\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \cdots + \frac{1}{a_n} = 1,$$ es posible elegir enteros positivos $b_i$ tales que (i) para cada $i = 1, 2, \dots, n$ , o bien $b_i = \lfloor a_i \rfloor$ o bien $b_i = \lfloor a_i \rfloor + 1$ , y (ii) se tiene $$1 < \frac{1}{b_1} + \frac{1}{b_2} + \cdots + \frac{1}{b_n} \leq C.$$ (Aquí $\lfloor \bullet \rfloor$ denota la función parte entera, como de costumbre.) Merlijn Staps

1 Sea $P(x) \in \mathbb{R}[x]$ un polinomio mónico y no constante. Determine todas las funciones continuas $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tales que $$f(f(P(x))+y+2023f(y))=P(x)+2024f(y),$$ para todos los reales $x,y$ .

5 Suponga que $a_{1} < a_{2}< \cdots < a_{2024}$ es una progresión aritmética de enteros positivos, y $b_{1} <b_{2} < \cdots <b_{2024}$ es una progresión geométrica de enteros positivos. Halle el máximo número posible de enteros que podrían aparecer en ambas sucesiones, sobre todas las elecciones posibles de las dos sucesiones. Ray Li

9 En un triángulo escaleno $ABC,$ $I$ es el incentro y $O$ es el circuncentro. La recta $IO$ corta a las rectas $BC,CA,AB$ en los puntos $D,E,F$ respectivamente. Sea $A_1$ la intersección de $BE$ y $CF$ . Los puntos $B_1$ y $C_1$ se definen de manera análoga. La circunferencia inscrita de $ABC$ es tangente a los lados $BC,CA,AB$ en los puntos $X,Y,Z$ respectivamente. Sean las rectas $XA_1, YB_1$ y $ZC_1$ que cortan a $IO$ en los puntos $A_2,B_2,C_2$ respectivamente. Demuestre que las circunferencias con diámetros $AA_2,BB_2$ y $CC_2$ tienen un punto común.

11.3 Un entero positivo $b$ se llama bueno si existen enteros positivos $1=a_1, a_2, \ldots, a_{2023}=b$ tales que $|a_{i+1}-a_i|=2^i$ . Halle el número de enteros buenos.

6 Halle todas las funciones $f\colon\mathbb R\to\mathbb R$ tales que para todos los números reales $x$ e $y$ , \[f(xf(y))+f(y)=f(x+y)+f(xy).\] Milan Haiman

46 Dados cinco números reales $u_0, u_1, u_2, u_3, u_4$ , demuestre que siempre es posible hallar cinco números reales $v0, v_1, v_2, v_3, v_4$ que satisfagan las siguientes condiciones: $(i)$ $u_i-v_i \in \mathbb N, \quad 0 \leq i \leq 4$ $(ii)$ $\sum_{0 \leq i<j \leq 4} (v_i - v_j)^2 < 4.$ Propuesto por Países Bajos. Amir

7 Sea $r\geq 2$ un entero positivo, y sea cada entero positivo pintado con uno de $r$ colores distintos. Para todo entero positivo $n$ y todo par de colores $a$ y $b$ , si la diferencia entre el número de divisores de $n$ pintados con el color $a$ y el número de divisores de $n$ pintados con el color $b$ es a lo sumo $1$ , halle todos los valores posibles de $r$ .