2 Demuestre que en todo conjunto de $2000$ números reales distintos existen dos pares $a>b$ y $c>d$ con $a \neq c$ o $b \neq d $ , tales que \[ \left| \frac{a-b}{c-d} - 1 \right|< \frac{1}{100000}. \]

3 Sea $f(x)$ un polinomio mónico de grado $2023$ con coeficientes enteros positivos. Demuestre que para todo entero $N$ suficientemente grande y todo número primo $p>2023N$ , el producto \[f(1)f(2)\dots f(N)\] es a lo sumo $\binom{2023}{2}$ veces divisible por $p$ . Propuesto por Ashwin Sah

3 Sea $\mathbb R$ el conjunto de los números reales. Denotamos por $\mathcal F$ el conjunto de todas las funciones $f\colon\mathbb R\to\mathbb R$ tales que $$f(x + f(y)) = f(x) + f(y)$$ para todo $x,y\in\mathbb R$ . Halle todos los números racionales $q$ tales que para toda función $f\in\mathcal F$ exista algún $z\in\mathbb R$ que satisfaga $f(z)=qz$ .

2 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con ortocentro $H$ y $AB<AC$ . El punto $T$ está sobre la recta $BC$ de modo que $AT$ es tangente a la circunferencia circunscrita de $ABC$ . Sean las rectas $AH$ y $BC$ que se cortan en el punto $D$ , y sea $M$ el punto medio de $HC$ . Sea la circunferencia circunscrita de $AHT$ que corta a $CH$ en $P \not=H$ , y la circunferencia circunscrita de $PDM$ que corta a $BC$ en $Q \not=D$ . Demuestre que $QT=QA$ .

1 Sean $m$ y $n$ enteros positivos primos entre sí; determine los posibles valores de $$\gcd (5^m + 7^m, 5^n + 7^n)$$

4 Sea $n$ un entero positivo, y considere una sucesión $a_1 , a_2 , \dotsc , a_n $ de enteros positivos. Extiéndala periódicamente a una sucesión infinita $a_1 , a_2 , \dotsc $ definiendo $a_{n+i} = a_i $ para todo $i \ge 1$ . Si \[a_1 \le a_2 \le \dots \le a_n \le a_1 +n \] y \[a_{a_i } \le n+i-1 \quad\text{for}\quad i=1,2,\dotsc, n, \] demuestre que \[a_1 + \dots +a_n \le n^2. \]

3 Sea $\omega$ la circunferencia circunscrita de un triángulo $ABC$ . Denote por $M$ y $N$ los puntos medios de los lados $AB$ y $AC$ , respectivamente, y denote por $T$ el punto medio del arco $BC$ de $\omega$ que no contiene a $A$ . Las circunferencias circunscritas de los triángulos $AMT$ y $ANT$ intersecan las mediatrices de $AC$ y $AB$ en los puntos $X$ e $Y$ , respectivamente; suponga que $X$ e $Y$ se encuentran dentro del triángulo $ABC$ . Las rectas $MN$ y $XY$ se cortan en $K$ . Demuestre que $KA=KT$ .

2 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AC > AB$ , sea $O$ su circuncentro, y sea $D$ un punto del segmento $BC$ . La recta que pasa por $D$ perpendicular a $BC$ corta a las rectas $AO, AC,$ y $AB$ en $W, X,$ y $Y,$ respectivamente. Las circunferencias circunscritas de los triángulos $AXY$ y $ABC$ se cortan de nuevo en $Z \ne A$ . Demuestre que si $W \ne D$ y $OW = OD,$ entonces $DZ$ es tangente a la circunferencia $AXY.$ ike.chen

1 Halle todos los enteros positivos $n>2$ tales que $$ n! \mid \prod_{ p<q\le n, p,q \, \text{primes}} (p+q)$$ Aryan-23

2 Sea $n$ un entero positivo. Halle el menor entero $k$ con la siguiente propiedad; Dados cualesquiera números reales $a_1 , \cdots , a_d $ tales que $a_1 + a_2 + \cdots + a_d = n$ y $0 \le a_i \le 1$ para $i=1,2,\cdots ,d$ , es posible particionar estos números en $k$ grupos (algunos de los cuales pueden ser vacíos) de modo que la suma de los números de cada grupo sea a lo sumo $1$ .