3 Considere el conjunto $M=\{1,2,3,...,2003\}$ . ¿Cuántos subconjuntos de $M$ con número par de elementos existen?

4 Se dan dos puntos $B,C$ . Considere el punto $A$ que no está sobre la recta $BC$ y trace los círculos $C_1(K_1,R_1)$ (con centro $K_1$ y radio $R_1$ ) y $C_2(K_2,R_2)$ con cuerda $AB, AC$ respectivamente, tales que sus centros estén en el interior del triángulo $ABC$ y además $R_1 \cdot AC= R_2 \cdot AB$ . Sea $T$ el punto de intersección de los dos círculos, diferente de $A$ , y sea M un punto aleatorio de la recta $AT$ , demuestre que $TC \cdot S_{(MBT)}=TB \cdot S_{(MCT)}$

5 Halle las soluciones enteras de $x^3+y^3-2xy+x+y+2=0$

1 Los números reales $x,y,a$ son tales que $x+y=x^2+y^2=x^3+y^3=a$ . Halle todos los valores posibles de $a$ .

2 Sea $A$ un entero positivo de $3$ cifras y $B$ el entero positivo que se obtiene de $A$ intercambiando entre sí la cifra de las centenas con la cifra de las unidades. También se da que $B$ es un número de $3$ cifras. Halle los números $A$ y $B$ si se sabe que $A$ dividido por $B$ da cociente $3$ y resto igual a siete veces la suma de sus cifras.

1 Un círculo se divide en $100$ partes iguales y los puntos de esta división se colorean de verde o amarillo, de modo que cuando entre dos puntos de división $A,B$ hay exactamente $4$ puntos de división y el punto $A$ es verde, entonces el punto $B$ debe ser amarillo. ¿Qué puntos son más, los verdes o los amarillos?

4 Halle todos los enteros positivos $n , n\ge 3$ tales que $n\mid (n-2)!$

2 Para $a,b,c>0$ , demuestre que (i) $\frac{a+b+c}{2}-\frac{ab}{a+b}-\frac{bc}{b+c}-\frac{ca}{c+a}\ge 0$ (ii) $a(1+b)+b(1+c)+c(1+a)\ge 6\sqrt{abc}$

3 Halle las cifras $a,b,c,x$ ( $a>0$ ) tales que $\overline{abc}+\overline{acb}=\overline{199x}$

2 Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo con $AB=CD$ . Desde un punto arbitrario $P$ de su diagonal $BD$ , trazamos una recta paralela a $AB$ que interseca a $AD$ en el punto $M$ y una recta paralela a $CD$ que interseca a $BC$ en el punto $N$ . Demuestre que: a) La suma $PM+PN$ es constante, independiente de la posición de $P$ sobre la diagonal $BD$ . b) $MN\le BD$ . ¿Cuándo se cumple la igualdad?