3 Determine los posibles ángulos interiores de triángulos isósceles que pueden subdividirse en dos triángulos isósceles con interior disjunto.

4 ¿Cuántos enteros positivos $n<2024$ son divisibles por $\lfloor \sqrt{n}\rfloor-1$ ?

5 ¿Existe un entero positivo $n$ tal que al escribir los dígitos decimales de $2^n$ en orden inverso, obtenemos otra potencia entera de $2$ ?

6 Se nos da una tabla rectangular con un entero positivo escrito en cada una de sus celdas. Para cada celda de la tabla, el número en ella es igual al número total de valores diferentes en las celdas que están en la misma fila o columna (incluyéndose a sí misma). Encuentre todas las tablas con esta propiedad.

6 Definimos dos tipos de operación sobre un polinomio de tercer grado: a) intercambiar los lugares de los coeficientes del polinomio (incluidos los coeficientes nulos), p. ej.: $ x^3+x^2+3x-2 $ => $ -2x^3+3x^2+x+1$ b) reemplazar el polinomio $P(x)$ por $P(x+1)$ Si se permite una cantidad ilimitada de operaciones, ¿es posible pasar de $x^3-2$ a $x^3-3x^2+3x-3$ ?

1 Demuestre que hay al menos $666$ números compuestos positivos de $2006$ cifras que tienen una cifra igual a $7$ y todas las demás iguales a $1$ .

2 Halle todos los cubos perfectos positivos que no son divisibles por $10$ tales que el número obtenido al borrar las tres últimas cifras sea también un cubo perfecto.

12 Considere una sucesión de enteros positivos $x_n$ tal que: \[(\text{A})\ x_{2n+1}=4x_n+2n+2 \] \[(\text{B})\ x_{3n+\color[rgb]{0.9529,0.0980,0.0118}2}=3x_{n+1}+6x_n \] para todo $n\ge 0$ . Demuestre que \[(\text{C})\ x_{3n-1}=x_{n+2}-2x_{n+1}+10x_n \] para todo $n\ge 0$ .

13 Demuestre que \[ \sqrt{(1^k+2^k)(1^k+2^k+3^k)\ldots (1^k+2^k+\ldots +n^k)}\] \[ \ge 1^k+2^k+\ldots +n^k-\frac{2^{k-1}+2\cdot 3^{k-1}+\ldots + (n-1)\cdot n^{k-1}}{n}\] para todos los enteros $n,k \ge 2$ .

14 Sean $m$ y $n$ enteros positivos con $m\le 2000$ y $k=3-\frac{m}{n}$ . Halle el menor valor positivo de $k$ .