1 El padre tiene $42$ años y el hijo tiene $14$ años. ¿Dentro de cuántos años el padre tendrá el doble de la edad de su hijo?

5 Sea $ABCDEF$ un hexágono. Los lados y las diagonales del hexágono están coloreados con dos colores: azul y amarillo. Demuestre que existe un triángulo con vértices en el conjunto $\{A,B,C,D,E,F\}$ cuyos lados son todos del mismo color

1 Si para los números $a$, $b$ y $c$ se cumple $a : b=4:3$ y $b : c=2:5$, halle el valor $$(3a-2b):(b+2c)$$

2 Sabemos que el trigo crudo tiene $70\%$ de humedad y el trigo seco tiene $10\%$ de humedad. Un molinero compró $3$ toneladas de trigo crudo al precio de $0.4 \$$ por kilo. ¿A qué precio debe vender el molinero el trigo seco para obtener una ganancia del $80\%$?

3 Sea $ABCD$ un trapecio con bases $AB$ y $CD$, y sean $AB=a$, $BC=b$, $CD=c$, $DA=d$, $AC=m$ y $BD=n$. Sabemos que $m^2+n^2=(a+c)^2$. $a)$ Demuestre que las rectas $AC$ y $BD$ son perpendiculares. $b)$ Demuestre que $ac<bd$

4 El entero positivo $n$ al dividirse entre $3$ da residuo $a$, al dividirse entre $5$ tiene residuo $b$ y al dividirse entre $7$ da residuo $c$. Halle el residuo de dividir $n$ entre $105$ si $4a+3b+2c=30$

5 Con los dígitos $0$, $1$, $3$, $4$, $7$ y $9$ se escribieron números de $5$ dígitos todos distintos. ¿Cuántos de esos números son divisibles por $5$?

1 Compare los números $A=5+2\sqrt{5}$ y $B=\sqrt{45+20\sqrt{5}}$

2 Halle el valor de $$\frac{1}{1+x+xy}+\frac{1}{1+y+yz}+\frac{1}{1+z+zx}$$ si $x$, $y$ y $z$ son números reales tales que $xyz=1$

1 Jugar al fútbol con 3 funciona así: 2 jugadores de campo intentan marcar un gol al portero; el que marca el gol se pone de portero para el siguiente juego, etc. Arne, Bart y Cauchy jugaron este juego. Después, le dicen a su profesor de matemáticas que A estuvo 12 veces en el campo, B 21 veces en el campo, C 8 veces en el arco. Su profesor sabe quién hizo el sexto gol. ¿Quién lo hizo?