13 En una conferencia hay $n$ matemáticos. Cada uno de ellos conoce exactamente a $k$ colegas matemáticos. Halle el menor valor de $k$ tal que existan al menos tres matemáticos que se conozcan mutuamente entre sí. Reformulación de la última línea para mayor claridad: Halle el menor valor de $k$ tal que (siempre) existan $3$ matemáticos $X,Y,Z$ tales que $X$ e $Y$ se conozcan, $X$ y $Z$ se conozcan e $Y$ y $Z$ se conozcan.

6 Demuestre que para todo número compuesto $ n>4$ , el número $ kn$ divide a $ (n-1)!$ para todo entero $ k$ tal que $ 1\le k\le \lfloor \sqrt{n-1} \rfloor$ .

4 Halle el mayor entero positivo $N $ para el cual se pueden elegir $N $ números distintos del conjunto ${1,2,3,...,100}$ tales que ni la suma ni el producto de cualesquiera dos números elegidos diferentes sea divisible por $100$ . Propuesto por Mikhail Evdokimov

2 En una red social con un conjunto finito fijo de usuarios, cada usuario tenía un conjunto fijo de seguidores entre los demás usuarios. Cada usuario tiene una calificación inicial entera positiva (no necesariamente la misma para todos los usuarios). Cada medianoche, la calificación de cada usuario aumenta en la suma de las calificaciones que sus seguidores tenían justo antes de la medianoche. Sea $m$ un entero positivo. Un hacker, que no es un usuario de la red social, quiere que todos los usuarios tengan calificaciones divisibles por $m$ . Cada día, puede elegir a un usuario y aumentar su calificación en 1, o no hacer nada. Demuestre que el hacker puede lograr su objetivo después de un cierto número de días. Vladislav Novikov

6 Sea $ABCDEF$ un hexágono convexo que tiene una circunferencia inscrita y una circunscrita. Denótese por $\omega_{A}, \omega_{B},\omega_{C},\omega_{D},\omega_{E}$ y $\omega_{F}$ las circunferencias inscritas de los triángulos $FAB, ABC, BCD, CDE, DEF$ y $EFA$ , respectivamente. Sea $l_{AB}$ la tangente común externa de $\omega_{A}$ y $\omega_{B}$ ; las rectas $l_{BC}$ , $l_{CD}$ , $l_{DE}$ , $l_{EF}$ , $l_{FA}$ se definen análogamente. Sea $A_1$ el punto de intersección de las rectas $l_{FA}$ y $l_{AB}$ ; $B_1, C_1, D_1, E_1, F_1$ se definen análogamente. Demuestre que $A_1D_1, B_1E_1, C_1F_1$ son concurrentes.

5 Sean $x $ y $y $ enteros positivos tales que $[x+2,y+2]-[x+1,y+1]=[x+1,y+1]-[x,y]$ . Demuestre que uno de los dos números $x $ y $y $ divide al otro. (Aquí $[a,b] $ denota el mínimo común múltiplo de $a $ y $b $ ) . Propuesto por Dusan Djukic.

6 Un hexágono regular está inscrito en un rectángulo como se muestra en la figura. Si las áreas del triángulo sombreado y del cuadrilátero sombreado son $20,23$ respectivamente. Halle el área del hexágono. YII.I.

4 Hay 100 estudiantes presentando un examen. El profesor los llama uno por uno y le hace a cada estudiante una única pregunta personal: "¿Cuántos de los 100 estudiantes tendrán una calificación de "aprobado" al final de este examen?" La respuesta del estudiante debe ser un entero. Al recibir la respuesta, el profesor anuncia inmediatamente y públicamente la calificación del estudiante, que es "aprobado" o "reprobado". Después de que todos los estudiantes han recibido sus calificaciones, un inspector llega y verifica si hay algún estudiante que dio la respuesta correcta pero obtuvo una calificación de "reprobado". Si existe al menos un estudiante así, entonces el profesor es suspendido y todas las calificaciones son reemplazadas por "aprobado". De lo contrario, no se hacen cambios. ¿Pueden los estudiantes idear una estrategia que garantice una calificación de "aprobado" para cada uno de ellos? Denis Afrizonov

5 Se nos da una pirámide convexa de cuatro lados con vértice $S$ y cara base $ABCD$ tal que la pirámide tiene una esfera inscrita (es decir, contiene una esfera que es tangente a cada cara). Al hacer cortes a lo largo de las aristas $SA,SB,SC,SD$ y rotar las caras $SAB,SBC,SCD,SDA$ hacia afuera en el plano $ABCD$ , desplegamos la pirámide en el polígono $AKBLCMDN$ como se muestra en la figura. Demuestre que $K,L,M,N$ son concíclicos. Tibor Bakos y Géza Kós

6 Sea $p$ un primo y sea $f(x)$ un polinomio de grado $d$ con coeficientes enteros. Suponga que los números $f(1),f(2),\dots,f(p)$ dejan exactamente $k$ residuos distintos al ser divididos por $p$ , y $1<k<p$ . Demuestre que \[ \frac{p-1}{d}\leq k-1\leq (p-1)\left(1-\frac1d \right) .\] Dániel Domán, Gauls Károlyi y Emil Kiss