En un cuadrilátero convexo $ABCD$ , las rectas $AB$ y $DC$ se cortan en el punto $P{}$ y las rectas $AD$ y $BC$ se cortan en el punto $Q{}$ . Los puntos $E{}$ y $F{}$ están dentro del cuadrilátero $ABCD$ de modo que las circunferencias $(ABE), (CDE), (BCF),(ADF)$ se cortan en un punto $K{}$ . Demuestre que las circunferencias $(PKF)$ y $(QKE)$ se cortan por segunda vez sobre la recta $PQ$ .

Determine todos los pares $(n, k)$ de enteros positivos distintos tales que existe un entero positivo $s$ para el cual el número de divisores de $sn$ y de $sk$ son iguales.

Sea $n$ un entero positivo dado. Sísifo realiza una secuencia de turnos sobre un tablero formado por $n + 1$ casillas en fila, numeradas de $0$ a $n$ de izquierda a derecha. Inicialmente, se colocan $n$ piedras en la casilla $0$ , y las demás casillas están vacías. En cada turno, Sísifo elige cualquier casilla no vacía, digamos con $k$ piedras, toma una de estas piedras y la mueve hacia la derecha a lo sumo $k$ casillas (la piedra debe permanecer dentro del tablero). El objetivo de Sísifo es mover las $n$ piedras a la casilla $n$ . Demuestre que Sísifo no puede alcanzar el objetivo en menos de \[ \left \lceil \frac{n}{1} \right \rceil + \left \lceil \frac{n}{2} \right \rceil + \left \lceil \frac{n}{3} \right \rceil + \dots + \left \lceil \frac{n}{n} \right \rceil \] turnos. (Como es habitual, $\lceil x \rceil$ denota el menor entero no menor que $x$ . )

4 Sea $ \,ABC\,$ un triángulo y $ \,P\,$ un punto interior de $ \,ABC\,$ . Demuestre que al menos uno de los ángulos $ \,\angle PAB,\;\angle PBC,\;\angle PCA\,$ es menor o igual que $ 30^{\circ }$ .

Determine todas las funciones $f:\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}^+$ que satisfacen $xf(xf(2y))=y+xyf(x)$ para todo $x,y>0$ .

Sean $m,n\geq 2$ enteros. Sea $f(x_1,\dots, x_n)$ un polinomio con coeficientes reales tal que $$f(x_1,\dots, x_n)=\left\lfloor \frac{x_1+\dots + x_n}{m} \right\rfloor\text{ for every } x_1,\dots, x_n\in \{0,1,\dots, m-1\}.$$ Demuestre que el grado total de $f$ es al menos $n$ .

Sea $\mathbb{Q}_{>0}$ el conjunto de todos los números racionales positivos. Determine todas las funciones $f:\mathbb{Q}_{>0}\to \mathbb{Q}_{>0}$ que satisfacen $$f(x^2f(y)^2)=f(x)^2f(y)$$ para todo $x,y\in\mathbb{Q}_{>0}$

9.6 El punto $M$ es el punto medio del lado $BC$ del triángulo $ABC$. Una circunferencia pasa por $B$, es tangente a la recta $AM$ en $M$, e interseca el segmento $AB$ por segunda vez en el punto $P$. Demuestre que la circunferencia que pasa por $A$, $P$ y el punto medio del segmento $AM$ es tangente a la recta $AC$. (A. Voidelevich)

1 Para números reales positivos $a,b,c,d$ tales que $$ \dfrac{a^2}{b+c+d} + \dfrac{b^2}{a+c+d} + \dfrac{c^2}{a+b+d} = \dfrac{3d^2}{a+b+c} $$ demuestra que $$ \dfrac{3}{a}+ \dfrac{3}{b} + \dfrac{3}{c}+ \dfrac{3}{d} \geq \dfrac{16}{a+b+2d} + \dfrac{16}{b+c+2d} + \dfrac{16}{a+c+2d}. $$ Propuesto por Mojtaba Zare

¿Cuál es el menor grado posible de un polinomio $P(x)$ con coeficientes reales tal que $$P\left(P(1)\right) = 2, \quad P\left(P(2)\right) = 3, \quad P\left(P(3)\right) = 1?$$