5 (a) Sean dados $2n$ puntos distintos sobre una circunferencia, $n$ de los cuales son rojos y $n$ son azules. Demuestre que se pueden unir estos puntos por pares mediante $n$ segmentos de modo que no haya dos segmentos que se intersequen y que los extremos de cada segmento tengan colores distintos. (b) Muestre que el enunciado de (a) sigue siendo válido si los puntos están en una posición arbitraria en el plano de modo que no haya tres de ellos colineales.

6 Una sucesión ( $a_n$ ) satisface las siguientes condiciones: (i) Para cada $m \in N$ se cumple que $a_{2^m} = 1/m$ . (ii) Para cada natural $n \ge 2$ se cumple que $a_{2n-1}a_{2n} = a_n$ . (iii) Para todos los enteros $m,n$ con $2m > n \ge 1$ se cumple que $a_{2n}a_{2n+1} = a_{2^m+n}$ . Determine $a_{2000}$ . Puede suponer que tal sucesión existe.

1 Halle todos los $x,y$ que satisfacen la igualdad $x^2 +xy+y^2 = 97$ , cuando $x,y$ son a) números naturales, b) enteros

2 Determine todos los números reales $x$ para los cuales $1+\frac{x}{2} -\frac{x^2}{8} \le \sqrt{1+x} \le 1+\frac{x}{2}$

5 $n$ es un entero positivo. Sea $a(n)$ el menor número para el cual $n\mid a(n)!$ Halle todas las soluciones de: $$\frac{a(n)}{n}=\frac23$$

3 Suponga que un punto interior $O$ de un triángulo $ABC$ es tal que los ángulos $\angle BAO,\angle CBO, \angle ACO$ son todos mayores o iguales que $30^o$ . Demuestre que el triángulo $ABC$ es equilátero.

1 Halle todos los números reales $a,b$ que satisfacen el siguiente sistema de ecuaciones \begin{align*} 2a^2 -2ab+b^2 &=a\\ 4a^2 -5ab +2b^2 & =b. \end{align*}

3 Demuestre que para todo número primo $p$ se cumple la igualdad $$\sum_{k=1}^{p-1}\left\lfloor\frac{k^3}{p}\right\rfloor=\frac{(p-2)(p-1)(p+1)}{4}$$

6a Halle todos los pares reales $(x,y)$ que resuelven el sistema de ecuaciones \begin{align} x^5 &= 21x^3+y^3 \\ y^5 &= x^3+21y^3. \end{align}

6 (12) Sea $ABC$ un triángulo con $\angle A = 90^o$ y $\angle B < \angle C$ . La tangente en $A$ a la circunferencia circunscrita $k$ de $\vartriangle ABC$ interseca a la recta $BC$ en $D$ . Sea $E$ la reflexión de $A$ respecto a $BC$ . Además, sea $X$ el pie de la perpendicular trazada desde $A$ a $BE$ y sea $Y$ el punto medio de $AX$ . La recta $BY$ corta nuevamente a $k$ en $Z$ . Demuestre que la recta $BD$ es tangente a la circunferencia circunscrita de $\vartriangle ADZ$ .