6 Demuestre que para todo entero positivo n el número $(n^3 -n)(5^{8n+4} +3^{4n+2})$ es múltiplo de $3804$ .

7 Demuestre que la fracción $ \frac{n^2+n-1}{n^2+2n}$ es irreducible para todo entero positivo n.

8 (a) Tres rectas $l,m,n$ en el espacio pasan por el punto $S$ . Un plano perpendicular a $m$ corta a $l,m,n $ en $A,B,C$ respectivamente. Suponga que $\angle ASB = \angle BSC = 45^o$ y $\angle ABC = 90^o$ . Calcule $\angle ASC$ . (b) Además, si un plano perpendicular a $l$ corta a $l,m,n$ en $P,Q,R$ respectivamente y $SP = 1$ , halle los lados del triángulo $PQR$ .

3 Llamamos leal a un subconjunto $B$ de números naturales si existen números naturales $i\le j$ tales que $B=\{i,i+1,\ldots,j\}$ . Sea $Q$ el conjunto de todos los conjuntos leales. Para todo subconjunto $A=\{a_1<a_2<\ldots<a_k\}$ de $\{1,2,\ldots,n\}$ definimos \[f(A)=\max_{1\le i \le k-1}{a_{i+1}-a_i}\qquad\text{and}\qquad g(A)=\max_{B\subseteq A, B\in Q} |B|.\] Además, definimos \[F(n)=\sum_{A\subseteq \{1,2,\ldots,n\}} f(A)\qquad\text{and}\qquad G(n)=\sum_{A\subseteq \{1,2,\ldots,n\}} g(A).\] Demuestre que existe $m\in \mathbb N$ tal que para cada número natural $n>m$ tenemos $F(n)>G(n)$ . (Por $|A|$ queremos decir el número de elementos de $A$ , y si $|A|\le 1$ , definimos $f(A)$ como cero). Propuesto por Javad Abedi

Halle todos los polinomios $P(x)$ para los cuales existe una sucesión $a_1, a_2, a_3, \ldots$ de números reales tal que \[a_m + a_n = P(mn)\] para cualesquiera enteros positivos $m$ y $n$ .

Halle todas las funciones $f:\mathbb{N} \to \mathbb{N}$ tales que \[f\left(\Big \lceil \frac{f(m)}{n} \Big \rceil\right)=\Big \lceil \frac{m}{f(n)} \Big \rceil\] para todo $m,n \in \mathbb{N}$ . Propuesto por Md. Ashraful Islam Fahim

2 Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico con circuncentro $O_1$ . Las diagonales $AC$ y $BD$ se cortan en el punto $P$ . Suponga que los cuatro incentros de los triángulos $PAB, PBC, PCD, PDA$ se encuentran sobre un círculo con centro $O_2$ . Demuestre que $P, O_1, O_2$ son colineales. Propuesto por Shantanu Nene

4 Halle todas las funciones $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tales que para cualesquiera números reales $x , y$ se cumple esta igualdad : $$f(yf(x)+f(x)f(y))=xf(y)+f(xy)$$ Propuesto por Navid Safaei Shayan-TayefehIR

5 Sean $n \geq k$ enteros positivos y sea $a_1, \dots, a_n$ una lista no creciente de números reales positivos. Demuestre que existen $k$ conjuntos $B_1, \dots, B_k$ que particionan el conjunto $\{1, 2, \dots, n\}$ tales que $$\min_{1 \le j \le k} \left(\sum_{i \in B_j} a_i \right) \geq \min_{1 \le j \le k} \left(\frac{1}{2k+1-2j} \cdot \sum^n_{i=j} a_i\right).$$ Propuesto por Navid Safaei

. Halle todos los números primos $p$ tales que $2p+1$ y $4p+1$ también sean primos. P5. Cada diagonal de un pentágono convexo corta un triángulo de área $1$ . Halle el área del pentágono. P6. Para todos los números naturales $m, n>1$ , demuestre la desigualdad $\frac{1}{\sqrt[m]{1+n}}+\frac{1}{\sqrt[n]{1+m}}>1$ .