17 ¿De cuántas maneras se pueden ordenar $1, 2,\ldots, 2n$ en un arreglo rectangular de $2 \times n$ $\left(\begin{array}{cccc}a_1& a_2 & \cdots & a_n\\b_1& b_2 & \cdots & b_n\end{array}\right)$ tal que: (i) $a_1 < a_2 < \cdots < a_n,$ (ii) $b_1 < b_2 <\cdots < b_n,$ (iii) $a_1 < b_1, a_2 < b_2, \ldots, a_n < b_n \ ?$ Amir

7 Hay $n$ cajas ${B_1},{B_2},\ldots,{B_n}$ de izquierda a derecha, y hay $n$ bolas en estas cajas. Si hay al menos $1$ bola en ${B_1}$, podemos mover una a ${B_2}$. Si hay al menos $1$ bola en ${B_n}$, podemos mover una a ${B_{n - 1}}$. Si hay al menos $2$ bolas en ${B_k}$, $2 \leq k \leq n - 1$, podemos mover una a ${B_{k - 1}}$ y una a ${B_{k + 1}}$. Demuestre que, para cualquier disposición de las $n$ bolas, podemos lograr que cada caja tenga una bola en ella.

6 ¿Existen enteros positivos $m,n$ tales que $m^{20}+11^n$ es un número cuadrado?

16 Supón que ${x_1, x_2, \dots , x_n}$ son enteros positivos tales que $x_1 + x_2 + \cdots+ x_n = 2(n + 1)$ . Demuestra que existe un entero $r$ con $0 \leq r \leq n - 1$ para el cual se cumplen las siguientes $n - 1$ desigualdades: \[x_{r+1} + \cdots + x_{r+i} \leq 2i+ 1, \qquad \qquad \forall i, 1 \leq i \leq n - r; \] \[x_{r+1} + \cdots + x_n + x_1 + \cdots+ x_i \leq 2(n - r + i) + 1, \qquad \qquad \forall i, 1 \leq i \leq r - 1.\] Prueba que si todas las desigualdades son estrictas, entonces $r$ es único y que en caso contrario hay exactamente dos valores de $r$ así. Amir

13 Sea $p$ un número primo y $a_1, a_2, \ldots, a_{(p+1)/2}$ números naturales distintos menores o iguales que $p.$ Demuestra que para cada número natural $r$ menor o igual que $p$, existen dos números (quizás iguales) $a_i$ y $a_j$ tales que \[p \equiv a_i a_j \pmod r.\]

12 Se asignará el número $0$ o $1$ a cada uno de los $n$ vértices de un polígono regular. ¿De cuántas maneras diferentes se puede hacer esto (si consideramos que dos asignaciones que se pueden obtener una de la otra mediante una rotación en el plano del polígono son idénticas)?

2. Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico. Sea $H_{1}$ el ortocentro del triángulo $ABC$. El punto $A_{1}$ es la imagen de $A$ tras reflexión respecto a $BH_{1}$. El punto $B_{1}$ es la imagen de $B$ tras reflexión respecto a $AH_{1}$. Sea $O_{1}$ el circuncentro de $(A_{1}B_{1}H_{1})$. Sea $H_{2}$ el ortocentro del triángulo $ABD$. El punto $A_{2}$ es la imagen de $A$ tras reflexión respecto a $BH_{2}$. El punto $B_{2}$ es la imagen de $B$ tras reflexión respecto a $AH_{2}$. Sea $O_{2}$ el circuncentro de $(A_{2}B_{2}H_{2})$. Denotemos por $\ell_{AB}$ la recta que pasa por $O_{1}$ y $O_{2}$. $\ell_{AD}$, $\ell_{BC}$, $\ell_{CD}$ se definen de manera análoga. Sea $M=\ell_{AB} \cap \ell_{BC}$, $N=\ell_{BC} \cap \ell_{CD}$, $P=\ell_{CD} \cap \ell_{AD}$, $Q=\ell_{AD} \cap \ell_{AB}$. Demuestra que $MNPQ$ es cíclico.

14 Sea $\ell$ tangente a la circunferencia $k$ en $B$. Sea $A$ un punto sobre $k$ y $P$ el pie de la perpendicular desde $A$ a $\ell$. Sea $M$ el simétrico de $P$ con respecto a $AB$. Encuentra el conjunto de todos esos puntos $M$. Amir

15 Encuentra todas las posibles sucesiones finitas $\{n_0, n_1, n_2, \ldots, n_k \}$ de enteros tales que para cada $i$, $i$ aparece en la sucesión $n_i$ veces $(0 \leq i \leq k).$ Amir

11 Un niño en el punto $A$ quiere obtener agua de un lago circular y llevarla al punto $B$. Encuentra el punto $C$ en el lago tal que la distancia que camina el niño sea la más corta posible, dado que la línea $AB$ y el lago son exteriores entre sí. Amir