23 Sea $\Gamma$ una esfera de radio $5.$ Sean $A, B, C,$ y $D$ puntos en $\Gamma$ tales que $AB=BC=CD=DA=8$ y $\angle{ABC}=\angle{BCD}=\angle{CDA}=\angle{DAB}.$ Calcule $AC.$

28 Sea $ABC$ un triángulo tal que $\angle{BAC}=105^\circ, AB=12\sqrt{2},$ y $AC=17.$ Sea $P$ un punto tal que $P$ y $A$ están en lados diferentes de la recta $BC,$ y $\angle{APB} = \angle{APC} = 60^\circ.$ Calcule $AP.$

27 Sean $a, b,$ y $c$ números reales positivos tales que \begin{align*} \sqrt{ab+1}+\sqrt{ca+1} &= 2a, \\ \sqrt{bc+1} + \sqrt{ab+1} &= 3b, \\ \sqrt{ca+1}+\sqrt{bc+1} &= 5c. \end{align*} Calcule $a.$

11 Calcule el número de pares ordenados $(a,b)$ de enteros positivos tales que $\text{lcm}(a,b) +\text{gcd}(a,b) = 2026.$

26 Marin está realizando un camino aleatorio sobre una recta. Para cada entero $n$ desde $1$ hasta $10,$ inclusive y en orden, Marin da un paso de longitud $F_n$ hacia la izquierda o hacia la derecha con igual probabilidad, donde $F_n$ es el $n$ -ésimo número de Fibonacci. Calcule la distancia esperada de Marin desde su punto de partida. (Los números de Fibonacci se definen por $F_1=F_2=1$ y la recurrencia $F_n = F_{n-1}+F_{n-2}$ para todo $n \ge 3.$ )

32 Kelvin la rana comienza en el centro de un hexágono regular $ABCDEF$ con longitud de lado $100,$ mirando hacia $A>$ Salta hacia adelante una distancia entera entre $0$ y $200$ unidades, inclusive, y luego gira $120^\circ$ en el sentido de las agujas del reloj. Repite este proceso dos veces más (posiblemente saltando distancias diferentes), terminando dentro del hexágono $ABCDEF$ (posiblemente en su frontera). Calcule el número de caminos distintos que pudo haber tomado.

30 Sea $ABC$ un triángulo con $AB=60, AC=67,$ y $BC=69.$ La circunferencia inscrita $\\omega$ del triángulo $ABC$ toca a los lados $\overline{BC}, \overline{CA},$ y $\overline{AB}$ en $D, E,$ y $F,$ respectivamente. Sea $D'$ el punto diametralmente opuesto a $D$ en $\omega.$ La cuerda común de las circunferencias circunscritas de los triángulos $BD'F$ y $CD'E$ interseca a la recta $BC$ en $X.$ Calcule $BX.$

31 Sea $\zeta = \cos \tfrac{2\pi}{19} + i \sin \tfrac{2\pi}{19}.$ Se sabe que el polinomio $x^3+16x^2+3x-229$ tiene tres raíces reales distintas, y su mayor raíz puede escribirse de manera única en la forma $$a_1 \zeta + a_2 \zeta^2 + \ldots + a_{18} \zeta^{18}$$ para algunos números racionales $a_1, \ldots, a_{18}.$ Calcule $a_1^2 + a_2^2 + \ldots + a_{18}^2.$

4 Dentro del triángulo $ABC$ , se elige un punto $P$ tal que $\angle ABP=\angle ACP$ . Se elige un punto $Q$ de modo que el cuadrilátero $PBQC$ sea un paralelogramo. Demuestre que $\angle BAQ=\angle CAP$ .

1. Sea $x_1, x_2, x_3, \dots$ una sucesión de enteros positivos definida de la siguiente manera: $x_1 = 1$ y para cada $n \geq 1$ tenemos \[ x_{n+1} = x_n + \lfloor \sqrt{x_n} \rfloor. \] Determine todos los enteros positivos $m$ para los cuales $x_n = m^2$ para algún $n \geq 1$ . (Aquí $\lfloor x \rfloor$ denota el mayor entero menor o igual que $x$ para todo número real $x$ . ) Propuesto por Anant Mudgal, Mrudul Thatte y Siddhartha Choppara Pi-Infinity