$ RBR'B'$$ R$$ R'$$ B$$ B'$$ k$$ k+4$$ RBR'B'$$ R$$ R'$$ B$$ B'$$ n$$ n$$ R$$ R'$$ B$$ B'$$ RBR'B'$$ n$

4 Para cada número natural $n$ denotamos por $a_n$ el mayor cuadrado perfecto menor o igual que $n$ y por $b_n$ el menor cuadrado perfecto mayor que $n$ . Por ejemplo $a_9=3^2$ , $b_9=4^2$ y $a_{20}=4^2$ , $b_{20}=5^2$ . Calcule: $$\frac{1}{a_1b_1}+\frac{1}{a_2b_2}+\frac{1}{a_3b_3}+\ldots +\frac{1}{a_{600}b_{600}}$$

5 Todo punto de coordenadas enteras en el plano es el centro de un disco de radio $1/1000$ . (1) Demuestre que existe un triángulo equilátero cuyos vértices están en discos diferentes. (2) Demuestre que todo triángulo equilátero con vértices en discos diferentes tiene lado mayor que $96$ . Radu Gologan, Rumania Observación El \"> 96\" en (b) puede reforzarse a \"> 124\". Por cierto, la parte (a) de este problema es el lugar donde usé el conocido teorema de \"Dedekind\" .

3 En el triángulo $ABC$ la circunferencia inscrita es tangente a los lados $AB$ y $AC$ en $D$ y $E$ respectivamente. La recta $DE$ intersecta a la circunferencia circunscrita en $P$ y $Q$ , con $P$ en el arco menor $AB$ y $Q$ en el arco menor $AC$ . Si $P$ es el punto medio del arco $AB$ , halle el ángulo A y la razón $\frac{PQ}{BC}$ .

2 Determine todos los números naturales $n$ para los cuales existen $2n$ enteros positivos distintos $x_1,…,x_n,y_1,…,y_n$ tales que el producto $$(11x^2_1+12y^2_1)(11x^2_2+12y^2_2)…(11x^2_n+12y^2_n)$$ es un cuadrado perfecto.

1 Determine si existen ternas ( $x,y,z)$ de números reales tales que $$\begin{cases} x+y+z=7 \\ xy+yz+zx=11\end{cases}$$ Si la respuesta es afirmativa, halle los valores mínimo y máximo de $z$ en una tal terna.

5 Dados varios enteros no negativos (se permiten repeticiones), la operación permitida consiste en elegir un entero positivo $a$ y reemplazar cada número $b$ mayor o igual que $a$ por $b-a$ (los números $a$ , si los hay, se reemplazan por $0$ ) . Inicialmente, se escriben en el pizarrón los enteros desde $1$ hasta $2013$ inclusive. Después de algunas operaciones, los números del pizarrón tienen suma igual a $10$ . Determine cuáles pudieron ser los números que quedaron en el pizarrón. Halle todas las posibilidades.

4 Sean $x\geq 5, y\geq 6, z\geq 7$ tales que $x^2+y^2+z^2\geq 125$ . Halle el valor mínimo de $x+y+z$ .

3 Halle cuántos son los números de $2013$ dígitos $d_1d_2…d_{2013}$ con dígitos impares $d_1,d_2,…,d_{2013}$ tales que la suma de $1809$ términos $$d_1 \cdot d_2+d_2\cdot d_3+…+d_{1809}\cdot d_{1810}$$ tiene resto $1$ al dividirla por $4$ y la suma de $203$ términos $$d_{1810}\cdot d_{1811}+d_{1811}\cdot d_{1812}+…+d_{2012}\cdot d_{2013}$$ tiene resto $1$ al dividirla por $4$ .

2 En un cuadrilátero convexo $ABCD$ los ángulos $\angle A$ y $\angle C$ son iguales y la bisectriz de $\angle B$ pasa por el punto medio del lado $CD$ . Si se sabe que $CD = 3AD$ , calcule $\frac{AB}{BC}$ .