El diámetro \( AD \) del circuncírculo del triángulo \( ABC \) interseca la recta \( BC \) en el punto \( K \). El punto \( D \) se refleja simétricamente respecto al punto \( K \), obteniendo el punto \( L \). Sobre la recta \( AB \), se elige un punto \( F \) tal que \( FL \perp AC \). Demuestra que \( FK \perp AD \). Propuesto por Matthew Kurskyi.

$ ABC$$ O$$ BO$$ CO$$ AC,AB$$ B',C'$$ B'C'$$ P,Q$$ AP=AQ$$ ABC$$ O$$ I$

$ ABC$$ l$$ P$$ A',B',C'$$ A,B,C$$ P$$ A''$$ B'C'$$ AA''\parallel l$$ B'',C''$$ A'',B'',C''$

$ I$$ ABC$$ M$$ BC$$ T$$ IM$$ I$$ M$$ T$$ \angle BIM-\angle CIM=\frac{3}2(\angle B-\angle C)$$ AT\perp BC$

$ f(x,y),g(x,y)$\[ \left\{\begin{array}{c}f(x,y)=0\\ g(x,y)=0\end{array}\right.\]$ \mathbb C^{2}$$ f(x,y)$$ g(x,y)$

$ a,b,c$\[ \left|\frac{a+b}{a-b}+\frac{b+c}{b-c}+\frac{c+a}{c-a}\right|>1\]

$ T$$ a,b,c,d,e$$ a+b=c+d+e$\[ \sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+e^{2}}\geq T(\sqrt a+\sqrt b+\sqrt c+\sqrt d+\sqrt e)^{2}\]

8 En un antiguo manuscrito encontrado en las ruinas de Persépolis está escrito: Este manuscrito fue terminado en un año cuya potencia 13 es 258145266804692077858261512663 Debes saber que si eres hábil en Aritmética sabrás fácilmente el año en que este manuscrito fue terminado. Encuentra el año en que el manuscrito fue terminado. Da una razón para tu respuesta. Omid

1 Sea $ n$ un número natural tal que $ (n,2(2^{1386}-1))=1$ . Sea $ \{a_{1},a_{2},\dots,a_{\varphi(n)}\}$ un sistema reducido de residuos módulo $ n$ . Demuestre que: \[ n|a_{1}^{1386}+a_{2}^{1386}+\dots+a_{\varphi(n)}^{1386}\] Omid

2 Sean $ m,n$ dos enteros tales que $ \varphi(m) =\varphi(n) = c$ . Demuestre que existen números naturales $ b_{1},b_{2},\dots,b_{c}$ tales que $ \{b_{1},b_{2},\dots,b_{c}\}$ es un sistema reducido de residuos para $ m$ y para $ n$ a la vez. Omid