5 Régis, Ed y Rafael están en la IMO. Van a jugar un juego en Bath, y hay $2^n$ casas en la ciudad. Régis y Ed formarán equipo contra Rafael. El juego funciona de la siguiente manera: primero, Régis y Ed piensan en una estrategia y luego se la comunican a Rafael. Después de esto, Régis y Ed ya no se comunican, y el juego comienza. Rafael decide un orden para visitar las casas y luego comienza a llevar a Régis a ellas en ese orden. En cada casa, excepto en la última, Régis elige un número entre $1$ y $n$ y lo coloca en la casa. En la última casa, Rafael elige un número de $1$ a $n$ y lo coloca allí. Después, Ed ve todas las casas y los números que contienen, y debe adivinar en qué casa colocó Rafael el número. Ed tiene permitidos $k$ intentos. ¿Cuál es el menor $k$ para el cual existe una estrategia para Ed y Régis que asegure que Ed adivine correctamente la casa donde Rafael colocó el número?

3 Una sucesión compuesta por $0$ s y $1$ s tiene a lo sumo dos $0$ s consecutivos. ¿Cuántas sucesiones de longitud $10$ existen?

4 Una circunferencia inscrita en el cuadrado $ABCD$ , de lado $10$ cm, interseca los lados $BC$ y $AD$ en los puntos $M$ y $N$ respectivamente. El punto $I$ es la intersección de $AM$ con la circunferencia distinta de $M$ , y $P$ es la proyección ortogonal de $I$ sobre $MN$ . Halle el valor del segmento $PI$ .

5 En una competencia deportiva, hay equipos de dos países diferentes, con $5$ equipos en cada país. Cada equipo juega contra dos equipos de cada país, incluido aquel al que pertenece, un juego en casa y uno de visitante. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden elegir los partidos en esta competencia?

1 Un número se llama cool si la suma de sus dígitos es múltiplo de $17$ y la suma de los dígitos de su sucesor es múltiplo de $17$ . ¿Cuál es el menor número cool?

2 Sea $ABC$ un triángulo y sean $D,E$ y $F$ los puntos medios de los lados $BC, AC$ y $BC$ . Las medianas $AD$ y $BE$ son perpendiculares, $AD = 12$ y $BE = 9$ . ¿Cuál es el valor de $CF$ ?

1 Sea $T(a)$ la suma de los dígitos de $a$ . ¿Para qué enteros positivos $R$ existe un entero positivo $n$ tal que $\frac{T(n^2)}{T(n)}=R$ ?

6 Alexandre y Bernado están jugando el siguiente juego. Al principio, hay $n$ bolas en una bolsa. En el primer turno, Alexandre puede tomar una bola de la bolsa; en el segundo turno, Bernado puede tomar una o dos bolas de la bolsa, y así sucesivamente. Así, se turnan y en el $k$ -ésimo turno pueden tomar un número de bolas de $1$ a $k$ . Gana quien vacía la bolsa. Para cada valor de $n$ , determine quién tiene la estrategia ganadora.

1 La tabla de $100 \times 100$ está llena con números del $1$ al $10 \ 000$ como se muestra en la figura. ¿Es posible reacomodar algunos números de modo que siga habiendo un número en cada celda, y que la suma de los números no cambie en todos los rectángulos de tres celdas?

2 Dada una sucesión $a_n$ : \[ 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, \dots \] (un '1', dos '2' y así sucesivamente) y otra sucesión $b_n$ tal que $a_{b_n}=b_{a_n}$ para todo entero positivo $n$ . Se sabe que $b_k=1$ para algún $k>100$ . Demuestre que $b_m=1$ para todo $m>k$ .