2 Cada entero positivo debe colorearse de rojo o de verde de modo que se cumplan las dos condiciones siguientes: - Sea $n$ cualquier número rojo. La suma de cualesquiera $n$ números rojos (no necesariamente distintos) es roja. - Sea $m$ cualquier número verde. La suma de cualesquiera $m$ números verdes (no necesariamente distintos) es verde. Determine todos los coloreos de este tipo.

Mugdho y Dipto juegan un juego en una fila numerada de $n \geq 5$ casillas. Al comienzo, se coloca una piedra en la primera casilla y luego los jugadores hacen movimientos consecutivos; comienza Mugdho. Durante un movimiento, un jugador puede elegir una de las siguientes opciones: mover la piedra una casilla hacia la derecha; mover la piedra cuatro casillas hacia la derecha; mover la piedra dos casillas hacia la izquierda. Todos los movimientos posibles solo están permitidos si la piedra permanece dentro de los bordes de la fila de casillas. El jugador que mueve la piedra a la última casilla (es decir, la $n$ -ésima) gana. Determine para qué valores de $n$ cada uno de los jugadores tiene una estrategia ganadora.

3 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo escaleno con circuncentro $O$ . Sea $D$ el pie de la altura trazada desde $A$ al lado $BC$ . Las rectas $BC$ y $AO$ se intersecan en $E$ . Sea $s$ la recta que pasa por $E$ perpendicular a $AO$ . La recta $s$ interseca a $AB$ y $AC$ en $K$ y $L$ , respectivamente. Denote por $\omega$ la circunferencia circunscrita del triángulo $AKL$ . La recta $AD$ interseca nuevamente a $\omega$ en $X$ . Demuestre que $\omega$ y las circunferencias circunscritas de los triángulos $ABC$ y $DEX$ tienen un punto en común.

2: Sean $S_1, S_2,S_3$ esferas de radios $a, b, c$ respectivamente cuyos centros están sobre una recta $l$ . La esfera $S_2$ es tangente exteriormente a $S_1$ y $S_3$ , mientras que $S_1$ y $S_3$ no tienen puntos comunes. Una recta t es tangente a cada una de las esferas. Halle el seno del ángulo entre $l$ y $t$

2015 g7 Sea $ABC$ un triángulo y sean $\omega_A$ y $\omega_B$ las circunferencias que pasan por $C$ y son tangentes a $AB$ en $A$ y $B$ , respectivamente. Las circunferencias $\omega_A$ y $\omega_B$ se intersecan en $C$ y $N$ . Sea $M$ la intersección de $CN$ con $AB$ . Sea $\Omega$ la circunferencia que pasa por $C$ y es tangente a $AB$ en $M$ , y sea $\omega$ la circunferencia tangente a $\Omega$ que pasa por $C$ y $N$ . Las tangentes a $\omega$ trazadas desde $M$ intersecan a $\omega$ en $X$ y $Y$ . Sea $Z$ el punto de intersección de $AX$ y $BY$ . Demuestre que $Z$ está sobre $\omega$ .

1 Sean $x_1,x_2,...,x_n$ ( $n \ge 2$ ) números positivos con suma $1$ . Demuestre que $$\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{1-x_i}} \ge n\sqrt{\frac{n}{n-1}} $$

4 En el pizarrón están escritos los $1004$ números: $2,4,6, ..., 2008$ . Dos jugadores eligen alternadamente cualquier número escrito en el pizarrón, lo borran y escriben en su lugar un número una unidad menor. Además, si aparece un cero en el pizarrón, se borra de inmediato, y si aparecen dos números idénticos, uno de ellos se borra. Gana el jugador cuyo oponente borra el último número. Demuestre que el jugador que comienza el juego puede ganar siempre, sin importar cómo juegue el segundo jugador. ¿Cómo debe jugar el jugador que comienza?

3 Demuestre que el conjunto $\{1,2,....,2^n\}$ se puede particionar en dos clases, ninguna de las cuales contiene una progresión aritmética de longitud $2n$ .

1 Considere la sucesión $z_n = (1+i)(2+i)...(n+i)$ . Demuestre que la sucesión $Im$ $z_n$ contiene infinitos números positivos e infinitos números negativos.

2 Sea $ABC$ un triángulo inscrito en el círculo $\mathcal{C}(O,R)$ y circunscrito al círculo $\mathcal{C}(L,r)$ . Denote $d=\dfrac{Rr}{R+r}$ . Demuestre que existe un triángulo $DEF$ tal que para cualquier punto interior $M$ de $ABC$ existe un punto $X$ sobre los lados de $DEF$ tal que $MX\le d$ . Dan Brânzei