3 Sea $ \mathcal{P}$ un cuadrado y sea $ n$ un entero positivo no nulo para el cual denotamos por $ f(n)$ el número máximo de elementos de una partición de $ \mathcal{P}$ en rectángulos tal que cada recta paralela a algún lado de $ \mathcal{P}$ interseca a lo sumo $ n$ interiores (de rectángulos). Demuestre que \[ 3 \cdot 2^{n-1} - 2 \le f(n) \le 3^n - 2.\]

2 Sea $f: \mathbb{Q}\rightarrow \mathbb{R}$ una función tal que \[|f(x)-f(y)|\leq (x-y)^{2}\] para todo $x,y \in\mathbb{Q}$ . Demuestre que $f$ es constante.

4 Sea $ n$ un entero positivo no nulo. Un conjunto de personas se llama conjunto $ n$ - equilibrado si en cualquier subconjunto de $ 3$ personas existen al menos dos que se conocen mutuamente y en cada subconjunto de $ n$ personas hay dos que no se conocen mutuamente. Demuestre que un conjunto $ n$ - equilibrado tiene a lo sumo $ (n - 1)(n + 2)/2$ personas.

4 Sean $\mathcal O_{1}$ y $\mathcal O_{2}$ dos circunferencias exteriores. Sean $A$ , $B$ , $C$ puntos sobre $\mathcal O_{1}$ y $D$ , $E$ , $F$ puntos sobre $\mathcal O_{1}$ tales que $AD$ y $BE$ son las tangentes exteriores comunes a estas dos circunferencias y $CF$ es una de las tangentes interiores a estas dos circunferencias, y tales que $C$ , $F$ están en el interior del cuadrilátero $ABED$ . Si $CO_{1}\cap AB=\{M\}$ y $FO_{2}\cap DE=\{N\}$ entonces demuestre que $MN$ pasa por el punto medio de $CF$ .

1 Sea \[f = X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\ldots+a_{1}X+a_{0}\] un polinomio entero de grado $n \geq 3$ tal que $a_{k}+a_{n-k}$ es par para todo $k \in \overline{1,n-1}$ y $a_{0}$ es par. Suponga que $f = gh$ , donde $g,h$ son polinomios enteros y $\deg g \leq \deg h$ y todos los coeficientes de $h$ son impares. Demuestre que $f$ tiene una raíz entera.

2 En un triángulo acutángulo \(ABC\), sea \(H\) su ortocentro y \(D\) un punto cualquiera sobre el lado \(BC\). Los puntos \(E, F\) están sobre los segmentos \(AB, AC\), respectivamente, de modo que los puntos \(A, B, D, F\) y \(A, C, D, E\) son cíclicos. Los segmentos \(BF\) y \(CE\) se cortan en \(P\). \(L\) es un punto sobre \(HA\) tal que \(LC\) es tangente a la circunferencia circunscrita del triángulo \(PBC\) en \(C\). \(BH\) y \(CP\) se cortan en \(X\). Demuestra que los puntos \(D, X\) y \(L\) están sobre la misma recta. Propuesto por Theoklitos Parayiou, Chipre

1 Sea $\mathcal{F}$ el conjunto de todas las funciones $f : \mathcal{P}(S) \longrightarrow \mathbb{R}$ tales que para todo $X, Y \subseteq S$ , tenemos $f(X \cap Y) = \min (f(X), f(Y))$ , donde $S$ es un conjunto finito (y $\mathcal{P}(S)$ es el conjunto de sus subconjuntos). Halle \[\max_{f \in \mathcal{F}}| \textrm{Im}(f) |. \] Valentin

2 Sea $ABC$ un triángulo, $E$ y $F$ los puntos donde la circunferencia inscrita y la circunferencia exinscrita relativa a $A$ tocan a $AB$ , y $D$ el punto sobre $BC$ tal que los triángulos $ABD$ y $ACD$ tienen inradios iguales. Las rectas $DB$ y $DE$ intersecan nuevamente a la circunferencia circunscrita del triángulo $ADF$ en los puntos $X$ y $Y$ . Demuestre que $XY\parallel AB$ si y solo si $AB=AC$ .

3 Halle todos los subconjuntos $A$ de $\left\{ 1, 2, 3, 4, \ldots \right\}$ , con $|A| \geq 2$ , tales que para todo $x,y \in A, \, x \neq y$ , tenemos que $\frac{x+y}{\gcd (x,y)}\in A$ . Dan Schwarz

1 Un entero \( n > 1 \) se llama *bueno* si existe una permutación \( a_1, a_2, a_3, \dots, a_n \) de los números \( 1, 2, 3, \dots, n \), tal que: \((i)\) \( a_i \) y \( a_{i+1} \) tienen paridades distintas para todo \( 1 \leq i \leq n-1 \); \((ii)\) la suma \( a_1 + a_2 + \cdots + a_k \) es un residuo cuadrático módulo \( n \) para todo \( 1 \leq k \leq n \). Demuestra que existen infinitos números buenos, así como infinitos enteros positivos que no son buenos.