2 Sean $A$ , $B$ , $C$ , $D$ , $E$ , $F$ , $G$ , $H$ , $I$ nueve puntos en el espacio tales que $ABCDE$ , $ABFGH$ y $GFCDI$ son pentágonos regulares de lado $1$ . Determine las longitudes de los lados del triángulo $EHI$ .

1 Halle todos los pares $(a, b)$ de números reales con la siguiente propiedad: dados cualesquiera números reales $c$ y $d$ , si ambas ecuaciones $x^2+ax+1=c$ y $x^2+bx+1=d$ tienen raíces reales, entonces la ecuación $x^2+(a+b)x+1=cd$ tiene raíces reales.

3 Una permutación de los enteros $(1,2,\ldots,n)$ se llama $d$ -ordenada si no contiene una subsucesión decreciente de longitud $d$ . Demuestre que para todo $d=2,3,\ldots,n$ , el número de permutaciones $d$ -ordenadas de $(1,2,\ldots,n)$ es a lo sumo $(d-1)^{2n}$ .

4 Una tabla de $ 4\times 4$ está dividida en $ 16$ casillas unitarias blancas. Dos casillas se llaman vecinas si comparten un lado común. Una jugada consiste en elegir una casilla y cambiar los colores de sus vecinas de blanco a negro o de negro a blanco. Después de exactamente $ n$ jugadas las $ 16$ casillas quedaron negras. Halle todos los valores posibles de $ n$ .

2010.3 Los puntos $A, B, C$ y $D$ están sobre una circunferencia en ese orden, de modo que $AB = BC$ y $AD = BC + CD$ . Determine $\angle BAD$ .

2011.3 Sobre el lado $BC$ del triángulo $ABC$ están los puntos $P$ y $Q$ tales que $P$ está más cerca de $B$ que $Q$ y $\angle P AQ = \frac12 \angle BAC$ . $X$ e $Y$ son puntos sobre las rectas $AB$ y $AC$ , respectivamente, tales que $\angle XPA = \angle AP Q$ y $\angle YQA = \angle AQP$ . Demuestre que $PQ = PX + QY.$

2012.2 En el cuadrilátero $ABCD$ , $AB$ es paralelo a $DC$ . Demuestre que $\frac{PA}{PB} = \left(\frac{PD}{PC}\right)^2$ , donde $P$ es un punto del lado $AB$ tal que $\angle DAB = \angle DP C = \angle CBA$ .

2012.4 En el triángulo $ABC$ , $AB = 2$ , $BC = 4$ y $CA = 2\sqrt2$ . $P$ es un punto sobre la bisectriz de $\angle B$ tal que $AP$ es perpendicular a esta bisectriz, y $Q$ es un punto sobre la bisectriz de $\angle C$ tal que $AQ$ es perpendicular a esta bisectriz. Determine la longitud de $PQ$

2013.4 En un pentágono convexo de perímetro $10$ , cada diagonal es paralela a uno de los lados. Halle la suma de las longitudes de sus diagonales.

2014.1 $ABCD$ es un cuadrado. La circunferencia con centro $C$ y radio $CB$ interseca a la circunferencia con diámetro $AB$ en $E \ne B$ . Si $AB = 2$ , determine $AE$ .