Olimpiada Regional de Bosnia y Herzegovina 2018 Problema 1
a) Demuestra que para todos los enteros positivos \(n \geq 3\) se cumple: \[ \binom{n}{1}+\binom{n}{2}+...+\binom{n}{n-1}=2^n-2 \] donde \(\binom{n}{k}\), con entero \(k\) tal que \(n \geq k \geq 0\), es el coeficiente binomial. b) Sea \(n \geq 3\) un entero positivo impar. Demuestra que el conjunto \[ A=\left\{ \binom{n}{1},\binom{n}{2},...,\binom{n}{\frac{n-1}{2}} \right\} \] tiene un número impar de números impares.
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Pruebas de Selección de Equipos de los Balcanes Junior de Moldavia 2013 Problema 1
1 Dados los enteros positivos $a, b, c$ tales que $a$ es impar, $b>c$ , $a, b, c$ son coprimos y $a(b-c) =2bc$ . Demuestre que $abc$ es un cuadrado
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Pruebas de Selección de Equipos de los Balcanes Junior de Moldavia 2013 Problema 7
7 Los puntos $M$ y $N$ están ubicados respectivamente sobre la diagonal $(AC)$ y el lado $(BC)$ del cuadrado $ABCD$ tales que $MN = MD$ . Determine la medida del ángulo $MDN$ .
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Pruebas de Selección de Equipos de los Balcanes Junior de Moldavia 2013 Problema 4
4 Un tren recorre el trayecto de la estación $A$ a la estación $B$ en $X$ minutos ( $0 <X <60$ ) . Se sabe que al partir de $A$ , así como al llegar a $B$ , el ángulo formado por la aguja horaria y la minutera tenía medida igual a $X$ grados. Halle $X $ .
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Pruebas de Selección de Equipos de los Balcanes Junior de Moldavia 2013 Problema 5
5 Los números reales $a, b, c$ son positivos, y los números reales $p, q, r \in [0,1/2]$ satisfacen la igualdad $p + q + r = 1$ . Demuestre la desigualdad $$pab + qbc + rca \le \frac18 (a + b + c)^2.$$
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Pruebas de Selección de Equipos de los Balcanes Junior de Moldavia 2012 Problema 1
1 Sean $ 1\leq a,b,c,d,e,f,g,h,k \leq 9 $ y $ a,b,c,d,e,f,g,h,k $ enteros distintos; halle el valor mínimo de la expresión $ E = a*b*c+d*e*f+g*h*k $ y demuestre que es mínimo.
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Pruebas de Selección de Equipos de los Balcanes Junior de Moldavia 2012 Problema 3
3 Sea $ ABC$ un triángulo equilátero; tome la recta $ t $ tal que $ t\parallel BC $ y $ t $ pasa por $ A $ . Sea el punto $ D $ sobre el lado $ AC $ ; la bisectriz del ángulo $ ABD $ interseca la recta $ t $ en el punto $ E $ . Demuestre que $ BD = CD + AE $ .
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Pruebas de Selección de Equipos de los Balcanes Junior de Moldavia 2012 Problema 4
4 Sea una sucesión infinita $ a_{k} $ con $ k\geq 1 $ definida por: $ a_{k+2} = a_{k} + 14 $ y $ a_{1} = 12 $ , $ a_{2} = 24 $ . a) ¿Pertenece $2012$ a la sucesión? b) Demuestre que la sucesión no contiene cuadrados perfectos.
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Pruebas de Selección de Equipos de los Balcanes Junior de Moldavia 2012 Problema 1
1 Halle una sucesión de $ 2012 $ enteros distintos mayores que $ 0 $ tales que su suma sea un cuadrado perfecto y su producto sea un cubo perfecto.
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Pruebas de Selección de Equipos de los Balcanes Junior de Moldavia 2012 Problema 2
2 Sean $ a,b,c,d$ números reales positivos y $cd=1$ . Demuestre que existe un entero positivo $n$ tal que $ab\leq n^2\leq (a+c)(b+d)$
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