4 4. Sean $a \geq b \geq c \geq d>0$ . Demuestre que \[ \frac{b^3}{a} + \frac{c^3}{b} + \frac{d^3}{c} + \frac{a^3}{d} + 3 \left( ab+bc+cd+da \right) \geq 4 {\left( a^2 + b^2 + c^2 +d^2 \right)}. \] Otros problemas (en coreano) también están disponibles en https://www.facebook.com/KoreanMathOlympiad

2 Sea un triángulo escaleno $ABC$ , y su circunferencia inscrita toca a $BC, CA, AB$ en $D, E, F$ . La mediatriz de $BC$ corta a la circunferencia circunscrita de $ABC$ en $P, Q$ , donde $P$ está en el mismo lado que $A$ con respecto a $BC$ . Sea la recta paralela a $AQ$ que pasa por $D$ y corta a $EF$ en $R$ . Demuestre que la intersección entre $EF$ y $PQ$ se encuentra sobre la circunferencia circunscrita de $BCR$ .

6 Halle todas las funciones $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ tales que (i): Para reales distintos $x,y$ , $f(x) \not= f(y)$ . (ii): Para todos los reales $x,y$ , $f(x+f(f(-y)))=f(x)+f(f(y))$

1 Sean $a_1, a_2, . . . $ números reales positivos que satisfacen (i) $a_{n+1}=a_1^2\cdot a_2^2 \cdot . . . \cdot a_n^2-3$ ( para todos los enteros positivos $n$ ) (ii) $\frac{1}{2}(a_1+\sqrt{a_2-1})$ es un entero positivo. Demuestre que $\frac{1}{2}(a_1 \cdot a_2 \cdot . . . \cdot a_n + \sqrt{a_{n+1}-1})$ es un entero positivo

4 Sea $ABCDE$ un pentágono convexo tal que $AB=BC=CD$, $\angle{EAB}=\angle{BCD}$, y $\angle{EDC}=\angle{CBA}$. Demuestra que la recta perpendicular desde $E$ a $BC$ y los segmentos $AC$ y $BD$ son concurrentes.

3 Sea un triángulo escaleno $ABC$ , y denote por $M$ el punto medio de $BC$ . La mediatriz de $BC$ corta a la circunferencia circunscrita de $ABC$ en el punto $P$ , en el mismo lado que $A$ con respecto a $BC$ . Sean los incentros de $ABM$ y $AMC$ , $I,J$ , respectivamente. Sean $\angle BAC=\alpha$ , $\angle ABC=\beta$ , $\angle BCA=\gamma$ . Halle $\angle IPJ$ .

2 Halle todos los enteros $n$ tales que $\frac{n+4}{3n-2}$ es entero

1 ¿Cuál es el menor entero positivo $t$ tal que existen enteros $x_1,x_2,\ldots,x_t$ con \[x^3_1+x^3_2+\,\ldots\,+x^3_t=2002^{2002}\,?\]

8 Para todo conjunto $S$ con $n(\ge3)$ enteros distintos, demuestre que existe una función $f:\{1,2,\dots,n\}\rightarrow S$ que satisface las dos condiciones siguientes. (i) $\{ f(1),f(2),\dots,f(n)\} = S$ (ii) $2f(j)\neq f(i)+f(k)$ para todos $1\le i<j<k\le n$ .

1 Halle todos los enteros positivos $n$ y los enteros no negativos $a_1,a_2,\dots,a_n$ que satisfacen: $i$ divide exactamente a $a_i$ números entre $a_1,a_2,\dots,a_n$ , para cada $i=1,2,\dots,n$ . ( $0$ es divisible por todos los enteros.)