6 Sea $N$ el conjunto de los enteros positivos. Determina si existe una función $f: N\to N$ tal que $f(f(n))=2n$, para todo $n$ perteneciente a $N$.

Una sucesión numérica se llama lusófona si cumple las siguientes tres condiciones: i) El primer término de la sucesión es el número $1$ . ii) Para obtener el siguiente término de la sucesión podemos multiplicar el término anterior por un número primo positivo ( $2,3,5,7,11, ...$ ) o sumarle $1$ . iii) El último término de la sucesión es el número $2016$ . Por ejemplo: $1\overset{{\times 11}}{\to}11 \overset{{\times 61}}{\to} 671 \overset{{+1}}{\to}672 \overset{{\times 3}}{\to}2016$ ¿Cuántas sucesiones lusófonas existen en las que (como en el ejemplo anterior) la operación de sumar $1$ se usó exactamente una vez y no se multiplicó dos veces por el mismo número primo?

Fuente: Olimpiada Lusófona 2016 Demuestra que cualquier potencia positiva de $2$ se puede escribir como: $$5xy-x^2-2y^2$$ donde $x$ e $y$ son números impares.

1998.3 La diagonal de un trapecio isósceles mide $16$ metros y forma un ángulo de $45^o$ con la base del trapecio. Calcula el área del trapecio.

N1 Para cada entero positivo $k$, sea $S(k)$ la suma de los dígitos de $k$ en el sistema decimal. Demuestra que existe un entero $k$, sin ningún $9$ en su representación decimal, tal que: $$S(2^{24^{2017}}k)=S(k)$$

N2 Sean $x$, $y$ y $k$ tres enteros positivos. Demuestra que existe un entero positivo $N$ y un conjunto de $k + 1$ enteros positivos $\{b_0,b_1, b_2, ... ,b_k\}$, tal que, para cada $i = 0, 1, ... , k$, la expansión en base $b_i$ de $N$ es un palíndromo de $3$ dígitos, y la expansión en base $b_0$ es exactamente $\overline{\mbox{xyx}}$. propuesto por Bojan Basic, Serbia

C2 Fija un entero $n \ge 2$ y sea $A$ un arreglo de $n\times n$ con $n$ celdas recortadas de modo que exactamente una celda se elimina de cada fila y de cada columna. Una barra es un subarreglo de $A$ de tamaño $1\times k$ o $k\times 1$, donde $k$ es un entero positivo adecuado. (a) Determina el número mínimo de barras en que se puede disectar $A$. (b) Muestra que el número de maneras de disectar $A$ en un número mínimo de barras no excede $100^n$. propuesto por Palmer Mebane y Nikolai Beluhov algunos comentarios una variación de la parte a, fue el problema 5 una variación de la parte b, fue publicada aquí esta publicación se hizo para completar la colección de publicaciones de RMM Shortlist 2017

G3 Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo y sean $P$ y $Q$ puntos variables dentro de este cuadrilátero tales que $\angle APB=\angle CPD=\angle AQB=\angle CQD$. Demuestra que las rectas $PQ$ obtenidas de esta manera todas pasan por un punto fijo, o bien son todas paralelas.

1 Cada uno de los puntos $G$ y $H$, situados en lados distintos del plano del hexágono $ABCDEF$, se conecta con todos los vértices del hexágono. ¿Es posible marcar los 18 segmentos así formados con los números $1, 2, 3, \ldots, 18$ y colocar algunos números reales en los puntos $A, B, C, D, E, F, G, H$ de modo que cada segmento esté marcado con la diferencia de los números en sus extremos? Propuesto por A. Golovanov

1 Se da un entero positivo $c$. La sucesión $\{p_{k}\}$ se construye con la siguiente regla: $p_{1}$ es un primo arbitrario y para $k\geq 1$ el número $p_{k+1}$ es cualquier divisor primo de $p_{k}+c$ que no esté presente entre los números $p_{1}$, $p_{2}$, $\dots$, $p_{k}$. Demuestra que la sucesión $\{p_{k}\}$ no puede ser infinita. Propuesto por A. Golovanov