4 Una sucesión estrictamente creciente de números $x_1$ , $x_2$ , $ ...$ , $x_n$ se denomina $m$ - delgada si y solo si para todo $a = 2, ..., n$ se cumplen las desigualdades $x_a - x_{a-1} \le m$ . Un conjunto A de números se denomina $m$ - denso si y solo si contiene, para todo número natural $n \ge 2$ , una sucesión estrictamente creciente de $n$ términos que es $m$ - delgada. Demuestre el siguiente enunciado (un debilitamiento de un famoso teorema del matemático neerlandés B. L. van der Waerden): Para toda partición del conjunto $N$ de todos los números naturales en $r \ge 2$ subconjuntos no vacíos disjuntos dos a dos $T_1$ , $...$ , $T_r$ , existe un número positivo $m$ tal que (al menos) uno de los conjuntos $T_1$ , $...$ , $T_r$ es un conjunto $m$ - denso. 1) Citar simplemente este teorema (en el que aparecen progresiones aritméticas en lugar de sucesiones m-delgadas) como un hecho conocido sin demostración no bastaría para resolver el problema.

2 Considere una caja con forma de cubo cuya arista mide $10$ cm y designe como marcadas todas aquellas rectas que pasan por el interior del cubo, son paralelas a una arista del cubo y tienen distancias enteras (medidas en cm) respecto a las dos caras que contienen a esta arista. Demuestre que, sin importar cómo se llene completamente la caja con $250$ bloques paralelepipédicos de dimensiones $2$ cm $ \times 2$ cm $\times 1$ cm, siempre hay al menos $100$ rectas marcadas que no atraviesan ninguno de los bloques. Se considera que un bloque es atravesado si y solo si la recta contiene puntos interiores del bloque.

3 Halle todas las funciones $f$ que satisfacen las siguientes condiciones (1) y (2): (1) La función $f$ está definida y es continua para todos los números reales $x$ . (2) Para todo número real $x$ , $$f(x) -4f(x^2) = x -16x^4.$$

6B Sea $f$ una función que satisface las siguientes condiciones: $f$ está definida y es continua para todos los números reales $x$ , todos los valores de la función $f(x)$ son números reales, y para todo real $x$ , $$f(f(f(x))) = x.$$ Demuestre que estas condiciones solo las satisface la función $f$ definida para todo real $x$ por $f(x) = x$ .

6A Demuestre que en todo triángulo $ABC$ , para todo punto $P$ interior al triángulo, las longitudes $x = PA$ , $y = PB$ , $z = PC$ y las longitudes $u$ , $v$ , y $w$ de las perpendiculares trazadas desde $P$ a los lados $BC$ , $CA$ , y $AB$ , respectivamente, o a sus prolongaciones, satisfacen la desigualdad $$xyz \ge (v + w)(w + u)(u + v)$$

6B Una novela utópica relata la historia de un autor que vive indefinidamente. Cada día escribe un texto que llena al menos una hoja de papel, y si ese día comienza más hojas, llena también cada una de esas hojas el mismo día. A lo largo de cada año, llena de esta manera un cierto número de hojas; estos números pueden variar de un año a otro, pero en ningún año este número supera $730$ . Demuestre: En la vida de este autor, para todo entero positivo $n$ , existe un período de días consecutivos en el cual el autor llena exactamente $n$ hojas. Nota: Se supone que la regla actualmente vigente se mantiene indefinidamente, según la cual todo período de ocho años contiene siempre al menos un año bisiesto de $366$ días, mientras que todo año no bisiesto consta de $365$ días.

1 Para cada terna $(a, b, c)$ de números reales positivos $a, b, c$ , determine todas aquellas ternas $(x, y, z)$ de números reales que satisfacen el siguiente sistema de ecuaciones : $$ x^2 - (y - z)^2 = a$$ $$ y^2 - (z - x)^2 = b$$ $$ z^2 - (x - y)^2 = c$$

4 Demuestre que si los números reales $a, b, c$ satisfacen el sistema de ecuaciones $$a + b + c = 2 \,\,\, , \,\,\, ab + ac + bc = 1$$ entonces $$0 \le a \le \frac43 \,\,\, , \,\,\, 0 \le b \le \frac43 \,\,\, , \,\,\, 0\le c \le \frac43$$

6A Investigue si existe un número $n \ge 2$ , así como un número real positivo $c$ y $n$ números reales positivos $a_i$ ( $i = 1, 2, ..., n$ ), tales que la suma de los $a_i$ sea igual a $n \cdot c$ , la suma de los cuadrados de los $a_i$ sea igual a $2n \cdot c^2$ y al menos uno de los números $a_i$ sea mayor que $(1 + \sqrt{n-1}) \cdot c$ .

1 Para cada número real $a$ , investigue si la ecuación $$a +\sqrt{a + \sqrt{a + \sqrt{a + \sqrt{x}}}} = x$$ tiene (al menos) una solución real $x$ , y halle todas las soluciones reales de la ecuación .