En un tablero de $7 \times 7$ , cada casilla se pinta de rojo o de azul de modo que toda casilla tenga al menos dos casillas vecinas azules. Determine el número mínimo de casillas azules que puede haber en el tablero. Aclaración: dos casillas son vecinas si comparten un lado.

Sea $ABC$ un triángulo rectángulo isósceles, y sea $M$ el punto medio de la hipotenusa $AC$ . Dentro del triángulo se traza una circunferencia que es tangente a $AB$ en $P$ y a $BC$ en $Q$ . La recta $MQ$ interseca nuevamente a la circunferencia en el punto $T$ . Si $H$ es el ortocentro del triángulo $AMT$ , demuestre que $MH = BQ$ .

En un triángulo acutángulo $ABC$ , se trazan las alturas $AP$ y $BQ$ , y $M$ es el punto medio del lado $AB$ . Si la circunferencia circunscrita del triángulo $BMP$ es tangente al lado $AC$ , demuestre que la circunferencia circunscrita del triángulo $AMQ$ es tangente a la prolongación del lado $BC$ .

Un tablero de $n \times n$ se llama binario si cada celda contiene un $0$ o un $1$ . En un tablero binario definimos: $\bullet$ Un rectángulo de $2 \times 3$ se llama ordenado si la suma de los números de cada una de sus tres columnas tiene la misma paridad. $\bullet$ Un rectángulo de $3 \times 2$ se llama ordenado si la suma de los números de cada una de sus tres filas tiene la misma paridad. Sea $A(n)$ el número de tableros binarios de $n \times n$ que no contienen ningún rectángulo ordenado. Sea $B(n)$ el número de tableros binarios de $n \times n$ en los que no hay dos celdas adyacentes (que compartan un lado) que contengan ambas el número $1$ . Para cada entero $n \geq 2$ , calcule el valor del cociente: $$\frac{A(n+1)}{B(n)}.$$

En un torneo participaron $n$ equipos de fútbol. Cada uno de los $n$ equipos jugó exactamente un partido contra cada uno de los demás. Algunos partidos terminaron en empate. Resultó que cada equipo ganó exactamente tres partidos y, además, no hubo tres equipos $A$ , $B$ y $C$ tales que $A$ venciera a $B$ , $B$ venciera a $C$ y $C$ venciera a $A$ . Determine todos los valores posibles de $n$ . Propuesto por Jorge Tipe

Considere $15$ puntos en el plano, cada uno de ellos pintado de rojo, azul o verde, de modo que se satisfagan las siguientes condiciones: $\bullet$ La suma de todas las distancias entre puntos rojos y azules es $51$ . $\bullet$ La suma de todas las distancias entre puntos rojos y verdes es $39$ . $\bullet$ La suma de todas las distancias entre puntos azules y verdes es $1$ . Determine cuántos puntos hay de cada color (analice todas las posibilidades). Propuesto por I. Voronovich, S. Mazanik (Bielorrusia)

Sean $M$ y $N$ los puntos medios de los lados $AB$ y $AC$ del triángulo $ABC$ , y sea $G$ su baricentro. Si las circunferencias circunscritas de los triángulos $AMN$ y $BGC$ son tangentes exteriormente, ¿es posible que el triángulo $ABC$ sea escaleno? Propuesto por Jorge Tipe

$a)$ Demuestre que el número $2012$ no puede expresarse como la suma de los cubos de tres enteros. $b)$ Sean $a$ y $b$ enteros tales que $a^2 - 4b$ es un cuadrado perfecto. Demuestre que el número $3ab$ puede expresarse como la suma de los cubos de tres enteros.

Sea $\mathcal{C}$ un conjunto de $n$ circunferencias en el plano, y sea $\mathcal{X}$ el conjunto de todas las rectas del plano que son tangentes a al menos dos circunferencias de $\mathcal{C}$ . Se sabe que existe un polígono regular de 2012 lados tal que cada uno de sus lados está sobre alguna recta de $\mathcal{X}$ . Determine el menor valor de $n$ para el cual esta situación es posible.

4 Determine todos los números de tres cifras N tales que $N^2$ tenga seis cifras y tales que la suma del número formado por las tres primeras cifras de $N^2$ y el número formado por las tres últimas cifras de $N^2$ sea igual a $N$ .