A5 Demuestra que no existe un entero positivo $n>1$ tal que $n\mid2^{n} -1.$

A6 Sea \( f \) una función real integrable en el intervalo cerrado \([0, 1]\) tal que \[ \int_{0}^{1} x^{m}f(x)\,dx= \begin{cases} 0 & \text{para } m=0,1,\ldots,n-1;\\ 1 & \text{para } m=n. \end{cases} \] Demuestra que \(|f(x)|\geq 2^{n}(n+1)\) sobre un conjunto de medida positiva.

A1 Demuestra que $\binom{n}{m},\binom{n}{m+1},\binom{n}{m+2}$ y $\binom{n}{m+3}$ no pueden estar en progresión aritmética, donde $n,m>0$ y $n\geq m+3$.

B6 En el dominio $0\leq \theta \leq 2\pi:$ (a) Demuestra que $\sin^{2}\theta \cdot \sin 2\theta$ alcanza su máximo en $\frac{\pi}{3}$ y $\frac{4 \pi}{3}$ (y por tanto su mínimo en $\frac{2 \pi}{3}$ y $\frac{ 5 \pi}{3}$). (b) Muestra que $$| \sin^{2} \theta \cdot \sin^{3} 2\theta \cdot \sin^{3} 4 \theta \cdots \sin^{3} 2^{n-1} \theta \cdot \sin 2^{n} \theta |$$ alcanza su máximo en $\frac{4 \pi}{3}$ (el máximo también puede alcanzarse en otros puntos). (c) Deriva la desigualdad: $$ \sin^{2} \theta \cdot \sin^{2} 2\theta \cdots \sin^{2} 2^{n} \theta \leq \left( \frac{3}{4} \right)^{n}.$$

Sean $A,B,C$ y $D$ puntos no coplanares tales que $\angle ABC=\angle ADC$ y $\angle BAD=\angle BCD$. Demuestra que $AB=CD$ y $AD=BC$.

A1. Sean dados nueve puntos reticulares (puntos con coordenadas enteras) en el espacio euclidiano tridimensional. Demuestra que existe un punto reticular en el interior de uno de los segmentos de recta que unen dos de estos puntos.

Determina todos los polinomios $P(x)$ tales que $P(x^2+1)=(P(x))^2+1$ y $P(0)=0.$

A3 Los tres vértices de un triángulo de lados $a,b,$ y $c$ son puntos de la red y están sobre una circunferencia de radio $R$. Demuestra que $abc \geq 2R.$ (Los puntos de la red son puntos del plano euclidiano con coordenadas enteras.)

A4 Demuestra que para $0 <\epsilon <1$ la expresión $(x+y)^n(x^2-(2-\epsilon)xy+y^2)$ es un polinomio con coeficientes positivos para $n$ suficientemente grande y entero. Para $\epsilon =.002$ encuentra el menor valor admisible de $n$.

A5 Un juego de solitario se juega de la siguiente manera. Después de cada jugada, según el resultado, el jugador recibe $a$ o $b$ puntos ($a$ y $b$ son enteros positivos con $a$ mayor que $b$), y su puntuación se acumula de jugada en jugada. Se ha observado que hay treinta y cinco puntuaciones inalcanzables y que una de ellas es $58$. Encuentra $a$ y $b$.