9.6 Dados pares $(a_1,b_1)$ , $(a_2,b_2),\ldots, (a_n,b_n)$ de números reales no negativos tales que para cualesquiera reales $x$ e $y$ se cumple la igualdad $$\sqrt{a_1x^2+b_1y^2}+\sqrt{a_2x^2+b_2y^2}+\ldots+\sqrt{a_nx^2+b_ny^2}=\sqrt{x^2+y^2}$$ Demuestre que $a_1=b_1,a_2=b_2,\ldots$ , $a_n=b_n$ . A. Vaidzelevich

14 En la figura adjunta, se dibujan dos círculos de radios 6 y 8 con sus centros separados 12 unidades. En \(P\), uno de los puntos de intersección, se traza una recta de modo que las cuerdas \(QP\) y \(PR\) tengan igual longitud. Encuentra el cuadrado de la longitud de \(QP\).

Determine todos los números naturales $n$ para los cuales existe una permutación $(a_1,a_2,\ldots,a_n)$ de los números $0,1,\ldots,n-1$ tal que, si $b_i$ es el resto de $a_1a_2\cdots a_i$ al dividirlo por $n$ para $i=1,\ldots,n$ , entonces $(b_1,b_2,\ldots,b_n)$ es también una permutación de $0,1,\ldots,n-1$ .

Sea $ABCD$ un cuadrado. $E$ y $F$ se encuentran sobre los lados $AB$ y $BC$ , respectivamente, tales que $BE = BF$ . La recta perpendicular a $CE$ que pasa por $B$ interseca a $CE$ y a $AD$ en los puntos $G$ y $H$ , respectivamente. Las rectas $FH$ y $CE$ se intersecan en el punto $P$ y las rectas $GF$ y $CD$ se intersecan en el punto $Q$ . Demuestre que la recta $DP$ es perpendicular a la recta $BQ$ .

1 Sea $S$ un conjunto finito con $n$ elementos. Dividimos $AS$ en $m$ partes disjuntas de modo que si $A$ , $B$ , $A \cup B$ están en la misma parte, entonces $A=B.$ Halle el valor mínimo de $m$ .

2006 g3.6 Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo. $I=AC\cap BD$ , y $E$ , $H$ , $F$ y $G$ son puntos sobre $AB$ , $BC$ , $CD$ y $DA$ respectivamente, tales que $EF \cap GH= I$ . Si $M=EG \cap AC$ , $N=HF \cap AC$ , muestre que \[\frac{AM}{IM}\cdot \frac{IN}{CN}=\frac{IA}{IC}.\]

1 Demuestre que el número $111...111$ con 1991 veces el número 1, no es primo.

5. Considere un triángulo $ABC$ con altura $AH$ y $H$ sobre $BC$ . Sean $\gamma_1$ y $\gamma_2$ las circunferencias de diámetros $BH,CH$ respectivamente, y sean $O_1$ y $O_2$ sus centros. Los puntos $X,Y$ están sobre $\gamma_1,\gamma_2$ respectivamente, tales que $AX,AY$ son tangentes a cada circunferencia y $X,Y,H$ son todos distintos. $P$ es un punto tal que $PO_1$ es perpendicular a $BX$ y $PO_2$ es perpendicular a $CY$ . Demuestre que las circunferencias circunscritas de $PXY$ y $AO_1O_2$ son tangentes entre sí.

4 Sea $P$ un $(2n+1)$ -gono regular en el plano, donde $n$ es un entero positivo. Decimos que un punto $S$ sobre uno de los lados de $P$ puede ser visto desde un punto $E$ externo a $P$ , si el segmento de recta $\overline{ES}$ no contiene otros puntos que estén sobre los lados de $P$ excepto $S$ . Queremos colorear los lados de $P$ con $3$ colores, de modo que cada lado esté coloreado con exactamente un color, y cada color se use al menos una vez. Además, desde cada punto del plano externo a $P$ , se pueden ver a lo sumo $2$ colores diferentes sobre $P$ (ignore los vértices de $P$ , los consideramos incoloros). Encuentre el mayor entero positivo $n$ para el cual tal coloración es posible.

Demuestre que para cualquier polinomio $P$ con coeficientes reales, y para cualquier entero positivo $n$ , existe un polinomio $Q$ con coeficientes reales tal que $P(x)^2 +Q(x)^2$ es divisible por $(1+x^2)^n$ .