1 La sucesión $a_n$ está definida por $a_1=\frac{1}{2}$ , $a_m=\frac{a_{m-1}}{2m \cdot a_{m-1} + 1}$ para $m>1$ . Determine el valor de $a_1+a_2+...+a_k$ en términos de $k$ , donde $k$ es un entero positivo.

2 La sucesión $a_n$ está definida por $a_0=a_1=1$ y $a_{n+1}=14a_n-a_{n-1}-4$ , para todos los enteros positivos $n$ . Demuestre que todos los términos de esta sucesión son cuadrados perfectos. Math-lover123

6 Sean $D$ , $E$ y $F$ los puntos en los que la circunferencia inscrita del triángulo $ABC$ toca a los lados $BC$ , $CA$ y $AB$ , respectivamente, y sea $I$ el centro de esa circunferencia. Además, sea $P$ el pie de la perpendicular trazada desde el punto $I$ a la recta $AD$ , y sea $M$ el punto medio de $DE$ . Si $\{N\}=PM\cap{AC}$ , demuestre que $DN \parallel EF$

1 El triángulo $ABC$ es rectángulo en $C$ . Las rectas $AM$ y $BN$ son bisectrices interiores. $AM$ y $BN$ intersecan a la altura $CH$ en los puntos $P$ y $Q$ respectivamente. Demuestre que la recta que pasa por los puntos medios de los segmentos $QN$ y $PM$ es paralela a $AB$ . Math-lover123

6 Sea $AB$ un segmento de longitud $1$ . Varias partículas comienzan a moverse simultáneamente a velocidades constantes desde $A$ hacia $ B$ . En cuanto una partícula alcanza $B$ , da la vuelta y se dirige a $A$ ; cuando alcanza $A$ , comienza a moverse nuevamente hacia $ B$ , y así sucesivamente indefinidamente. Halle todos los números racionales $ r>1$ tales que existe un instante $t$ con la siguiente propiedad: Para cada $n\ge 1$ , si $n+1$ partículas con velocidades constantes $1,r,r^2,…,r^n$ se mueven como se describe, en el instante $t$ , todas se encuentran en el mismo punto interior del segmento $AB$ .

6 En el triángulo $ABC$ , $I$ es el incentro. Hemos elegido puntos $P,Q,R$ sobre los segmentos $IA,IB,IC$ respectivamente tales que $IP\cdot IA=IQ \cdot IB=IR\cdot IC$ . Demuestre que los puntos $I$ y $O$ pertenecen a la recta de Euler del triángulo $PQR$ , donde $O$ es el circuncentro de $ABC$ . Math-lover123

1 Sea $D$ el punto medio del arco $B-A-C$ de la circunferencia circunscrita de $\triangle ABC (AB<AC)$ . Sea $E$ el pie de la perpendicular trazada desde $D$ a $AC$ . Demuestre que $|CE|=\frac{|BA|+|AC|}{2}$ .

2 Demuestre que para todos los números reales positivos $a,b,c$ , tales que $a^2+b^2+c^2=1$ : \[\frac{a^3}{b^2+c}+\frac{b^3}{c^2+a}+\frac{c^3}{a^2+b}\ge \frac{\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}}.\]

3 Demuestre que en un conjunto formado por $\binom{2n}{n}$ personas podemos encontrar un grupo de $n+1$ personas en el que todos se conocen entre sí o nadie conoce a nadie. Math-lover123

5 Dado un triángulo $\triangle ABC$ y los puntos $M$ y $K$ sobre las rectas $AB$ y $CB$ tales que $AM=AC=CK$ . Demuestre que la longitud del radio de la circunferencia circunscrita del triángulo $\triangle BKM$ es igual a la longitud $OI$ , donde $O$ y $I$ son los centros de la circunferencia circunscrita y de la circunferencia inscrita de $\triangle ABC$ , respectivamente. Demuestre también que $OI\perp MK$ .