16 Demuestre que existe un entero positivo $n$ tal que la representación decimal de $7^n$ contiene un bloque de al menos $m$ ceros consecutivos, donde $m$ es cualquier entero positivo dado.

17 Demuestre que existe un poliedro convexo con todos sus vértices sobre la superficie de una esfera y con todas sus caras triángulos isósceles congruentes cuyas razones de lados son $\sqrt{3} :\sqrt{3} :2$ .

15 Sean $ABC$ y $A'B'C'$ dos triángulos coplanares cualesquiera. Sea $L$ un punto tal que $AL || BC, A'L || B'C'$ , y $M,N$ definidos análogamente. La recta $BC$ corta a $B'C'$ en $P$ , y análogamente se definen $Q$ y $R$ . Demuestre que $PL, QM, RN$ son concurrentes.

14 Una sucesión $\{ u_n \}$ de enteros se define mediante \[u_1 = 2, u_2 = u_3 = 7,\] \[u_{n+1} = u_nu_{n-1} - u_{n-2}, \text{ for }n \geq 3\] Demuestre que para cada $n \geq 1$ , $u_n$ difiere en $2$ de un cuadrado entero.

Hay una cuadrícula de $20\times 25$, con cada celda en blanco. Tomita jugó el juego usando esta cuadrícula. El juego tiene varios turnos, y en el turno $n$, se realizan las siguientes operaciones: Elige un entero positivo $k$, y celdas $A_1, A_2, \dots, A_k$ tales que $A_{i+1}$ es adyacente a $A_i$, y está a la derecha, o arriba de $A_i$, para $1\le i\le n-1$. Escribimos el número $n$ en cada celda $A_1, A_2, \dots, A_k$. El juego termina cuando todas las celdas tienen un número escrito. Si Tomita juega el juego de tal manera que el número de turnos del juego alcanza el mínimo, encuentra el número de configuraciones posibles de la cuadrícula.

12 Cinco puntos se encuentran sobre la superficie de una esfera de radio unitario. Halle el máximo de la distancia más pequeña entre cualesquiera dos de ellos.

11 Sea $P_{1}(x)=x^{2}-2$ y $P_{j}(x)=P_{1}(P_{j-1}(x))$ para j $=2,\ldots$ Demuestre que para cualquier entero positivo n las raíces de la ecuación $P_{n}(x)=x$ son todas reales y distintas.

10 Demuestre que el recíproco de cualquier número de la forma $2(m^2+m+1)$ , donde $m$ es un entero positivo, puede representarse como una suma de términos consecutivos de la sucesión $(a_j)_{j=1}^{\infty}$ \[ a_j = \frac{1}{j(j + 1)(j + 2)}\]

9 Halle todas las soluciones (reales) del sistema \[3x_1-x_2-x_3-x_5 = 0,\] \[-x_1+3x_2-x_4-x_6= 0,\] \[-x_1 + 3x_3 - x_4 - x_7 = 0,\] \[-x_2 - x_3 + 3x_4 - x_8 = 0,\] \[-x_1 + 3x_5 - x_6 - x_7 = 0,\] \[-x_2 - x_5 + 3x_6 - x_8 = 0,\] \[-x_3 - x_5 + 3x_7 - x_8 = 0,\] \[-x_4 - x_6 - x_7 + 3x_8 = 0.\]

8 En un cuadrilátero convexo (en el plano) con área de $32 \text{ cm}^{2}$ la suma de dos lados opuestos y una diagonal es $16 \text{ cm}$ . Determine todos los valores posibles que puede tener la otra diagonal.