11.1 ¿Cuántas soluciones en enteros no negativos tiene la ecuación \[ x + 3y + 3z + 9w = 45 \]?

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo. Sean $P$ , $Y$ puntos sobre $AB$ y $Q$ , $X$ puntos sobre $AC$ tales que \[AP=PQ=QC \text{ and } AX=XY=YB\] Demuestre que \[XP+QY=BC.\] Propuesto por Santiago Rodriguez

¿Es posible pintar cada entero positivo con uno de 4 colores de modo que, para todo entero positivo $k$ , los números del conjunto $\{k, 2k, 3k, 4k\}$ estén todos pintados con colores diferentes? Propuesto por Cristhian Gonzalez

Sea $m$ un entero positivo. ¿Para qué valores de $m$ existen $m$ enteros consecutivos (no necesariamente positivos) que pueden particionarse en dos grupos con la misma suma de elementos? Propuesto por Juan David Restrepo

Yapilandia es un reino que consta de $2023$ islas etiquetadas $I_1, I_2, \dots, I_{2023}$ . Un día, el rey de Yapilandia escribe en una servilleta los números $a_1, a_2, \dots, a_{2023}$ , que son los números del $1$ al $2023$ en algún orden. Luego ordena la construcción de puentes de doble sentido entre las islas de acuerdo con la siguiente regla: Si $n > m$ y $a_n < a_m$ , entonces se construye un puente entre las islas $I_n$ e $I_m$ Demuestre que es posible viajar desde cualquier isla a cualquier otra usando los puentes si y solo si no existe un entero $1 \leq n < 2023$ tal que los números $a_1, a_2, \dots, a_n$ sean exactamente los números del $1$ al $n$ en algún orden. Propuesto por Gregorio Salazar

1 Sobre un cuadrado de $5\times 5$ , cubrimos el área con varios S-tetrominós (=Z-tetrominós) alineados con la cuadrícula, de modo que en cada casilla haya dos o menos piezas cubriéndola (las piezas pueden superponerse). Halle el número máximo posible de casillas cubiertas por al menos una pieza.

2 En un triángulo acutángulo $ABC$ , sean $D,E,F$ los puntos medios de $BC,CA,AB$ , respectivamente. Sean $X,Y$ los pies de las alturas desde $D$ a $AB,AC$ , respectivamente. La recta que pasa por $F$ paralela a $XY$ corta a la recta $DY$ en $P$ . Demuestre que $AD\perp EP$ .

3 Sea $c$ un entero no negativo. Halle todas las sucesiones infinitas de enteros positivos $\{a_{n}\}_{n\geq 1}$ que satisfacen la siguiente condición: para todo entero positivo $n$ , hay exactamente $a_n$ enteros positivos $i$ tales que $a_i\leq a_{n+1}+c$ .

4 Determine todos los enteros positivos $n$ tales que $n$ divide a $\phi(n)^{d(n)}+1$ pero $d(n)^5$ no divide a $n^{\phi(n)}-1$ .

5 Sea $S=\{1,2,\dots,3000\}$ . Determine el máximo entero posible $X$ que satisface la condición: Para toda función biyectiva $f:S\rightarrow S$ , existe una función biyectiva $g:S\rightarrow S$ tal que $$\displaystyle\sum_{k=1}^{3000}\left(\max\{f(f(k)),f(g(k)),g(f(k)),g(g(k))\}-\min\{f(f(k)),f(g(k)),g(f(k)),g(g(k))\}\right)\geq X$$