2 Demuestre que la circunferencia circunscrita de un triángulo contiene exactamente 3 puntos cuyas rectas de Simson son tangentes a la circunferencia de Euler del triángulo y estos puntos son los vértices de un triángulo equilátero.

3 Sea $ ABC$ un triángulo no isósceles, en el que $ X,Y,$ y $ Z$ son los puntos de tangencia de la circunferencia inscrita de centro $ I$ con los lados $ BC,CA$ y $ AB$ respectivamente. Denotando por $ O$ la circunferencia circunscrita de $ \triangle{ABC}$ , la recta $ OI$ corta a $ BC$ en un punto $ D.$ La perpendicular bajada desde $ X$ a $ YZ$ interseca a $ AD$ en $ E$ . Demuestre que $ YZ$ es la mediatriz de $ [EX]$ . Maxim

2 Sea $ABC$ un triángulo con $AB = AC$ y sea $D$ un punto sobre $BC$ tal que la circunferencia inscrita de $ABD$ y la circunferencia exinscrita de $ADC$ correspondiente a $A$ tienen el mismo radio. Demuestre que este radio es igual a la cuarta parte de la altura desde $B$ del triángulo $ABC$ .

1 Sea $ABCD$ un cuadrilátero circunscrito tal que $AD>\max\{AB,BC,CD\}$ , sea $M$ el punto común de $AB$ y $CD$ y sea $N$ el punto común de $AC$ y $BD$ . Demuestre que \[90^{\circ}<m(\angle AND)<90^{\circ}+\frac{1}{2}m(\angle AMD).\] Corregido, gracias Luis.

2 Un cuadrado de lado $N=n^2+1$ , $n\in \mathbb{N}^*$ , está particionado en cuadrados unitarios (de lado $1$ ) , a lo largo de $N$ filas y $N$ columnas. Los $N^2$ cuadrados unitarios se colorean usando $N$ colores, $N$ cuadrados con cada color. Demuestre que para cualquier coloración existe una fila o una columna que contiene cuadrados unitarios de al menos $n+1$ colores.

4 Sean $AL$ y $BK$ bisectrices de ángulos en el triángulo no isósceles $ABC$ ( $L$ está sobre el lado $BC$ , $K$ está sobre el lado $AC$ ) . La mediatriz de $BK$ interseca a la recta $AL$ en el punto $M$ . El punto $N$ está sobre la recta $BK$ tal que $LN$ es paralelo a $MK$ . Demuestre que $LN = NA$ .

3 Algunas $n>2$ lámparas están conectadas cíclicamente: la lámpara $1$ con la lámpara $2$ , ..., la lámpara $k$ con la lámpara $k+1$ , ..., la lámpara $n-1$ con la lámpara $n$ , la lámpara $n$ con la lámpara $1$ . Al principio todas las lámparas están apagadas. Cuando se pulsa el interruptor de una lámpara, esa lámpara y las dos conectadas a ella cambian de estado (de apagado a encendido, o viceversa). Determine el número de configuraciones de lámparas alcanzables desde la inicial, pulsando algún conjunto de interruptores.

1 Dado un entero $n\geq 2$ , determine el valor máximo que puede alcanzar la suma $x_1+\cdots+x_n$ , cuando los $x_i$ recorren los enteros positivos, sujeto a $x_1\leq x_2\leq \cdots \leq x_n$ y $x_1+\cdots+x_n=x_1 x_2\cdots x_n$ .

2 Sean $m<n$ dos enteros positivos, sean $I$ y $J$ dos conjuntos de índices tales que $|I|=|J|=n$ y $|I\cap J|=m$ , y sea $u_k$ , $k\in I\cup J$ una colección de vectores en el plano euclidiano tal que \[|\sum_{i\in I}u_i|=1=|\sum_{j\in J}u_j|.\] Demuestre que \[\sum_{k\in I\cup J}|u_k|^2\geq \frac{2}{m+n}\] y halle los casos de igualdad.

3 Dado un entero $n\geq 2$ y un disco unitario cerrado, evalúe el máximo del producto de las longitudes de todos los $\frac{n(n-1)}{2}$ segmentos determinados por $n$ puntos en ese disco.