$ \alpha$$ \{1,2,\dots,n\}$$ i<j<n$$ \alpha(i)<\alpha(j+1)<\alpha(j)$

4 Sea \( m \) un entero positivo. Demuestre que para todo entero \( n > 2m \) , \( n \) puede expresarse como la suma de \( m \) enteros mayores que 1, tales que para cada uno de estos \( m \) enteros, su mayor factor primo no supera $cn^{\frac{8}{15m-10}}$ , donde \( c \) es una constante que depende solo de \( m \) . Propuesto por Nailin Guan

2 Sean $a,b,c \in \mathbb {R}^{+}$ y $abc=1$ ; demuestre que $\frac {a+b}{(a+b+1)^2}+\frac {b+c}{(b+c+1)^2}+\frac {c+a}{(c+a+1)^2} \geq \frac {2}{a+b+c}$

3 Halle todos los enteros positivos $n$ que satisfacen $n=\phi(n)+2\phi(\phi(n))$ . Aquí $\phi(n)$ denota el número de enteros entre $1$ y $n$ que son primos relativos con $n$ .

2023.3 Sea $\Gamma$ una circunferencia con centro en el punto $O$ y sea $AB$ una cuerda de $\Gamma$ que no pasa por $O$ . Sea ahora $C$ un punto distinto de $A$ y $B$ , situado sobre la circunferencia circunscrita de $\vartriangle ABO$ . Sea finalmente $D$ el punto de intersección (distinto de $A$ ) entre la recta $AC$ y $\Gamma$ . Demuestre que el $\vartriangle BCD$ es isósceles.

2025.2 Sean $A_1, B_1, C_1$ tres puntos sobre los lados $B C, C A$ y $A B$ , respectivamente, del triángulo $A B C$ . Demuestre que las tres circunferencias circunscritas a los triángulos $A B_1 C_1, B C_1 A_1$ y $C A_1 B_1$ se intersecan en un punto.

5 $ ABC$ es un triángulo y $ AA'$ , $ BB'$ y $ CC'$ son las tres alturas de este triángulo . Sea $ P$ el pie de la perpendicular trazada desde $ C'$ a $ A'B'$ , y $ Q$ un punto en $ A'B'$ tal que $ QA = QB$ . Demuestre que : $ \angle PBQ = \angle PAQ = \angle PC'C$

1 Se da un grafo completo con pesos, con pesos positivos distintos, tal que en todo triángulo este es degenerado, es decir, el peso de una arista es igual a la suma de los otros dos. Demuestre que se pueden asignar valores a los vértices de este grafo tales que el peso de cada arista sea la diferencia entre los dos valores asignados a sus extremos. Propuesto por Morteza Saghafian

2 Para un entero positivo $n$ , sean $\tau(n)$ y $\sigma(n)$ el número de divisores positivos de $n$ y la suma de los divisores positivos de $n$ , respectivamente. Sean $a$ y $b$ enteros positivos tales que $\sigma(a^n)$ divide a $\sigma(b^n)$ para todo $n\in \mathbb{N}$ . Demuestre que todo factor primo de $\tau(a)$ divide a $\tau(b)$ . Propuesto por MohammadAmin Sharifi

3 La circunferencia inscrita $\omega$ del triángulo $ABC$ es tangente a los lados $CB$ y $CA$ en $D$ y $E$ , respectivamente. El punto $X$ es la reflexión de $D$ con respecto a $B$ . Suponga que la recta $DE$ es tangente a la $A$ -circunferencia exinscrita en $Z$ . Sea la circunferencia circunscrita del triángulo $XZE$ la cual interseca a $\omega$ por segunda vez en $K$ . Demuestre que la intersección de $BK$ y $AZ$ está sobre $\omega$ . Propuesto por Mahdi Etesamifard y Alireza Dadgarnia