N6 Demuestra que no existen números primos distintos $p$ y $q$ y un entero positivo $n$ que satisfagan la ecuación $p^{q-1}- q^{p-1}=4n^3$

G2 Sea $ABCD$ un cuadrilátero, sea $O$ el punto de intersección de las diagonales $AC$ y $BD$, y sea $P$ el punto de intersección de los lados $AB$ y $CD$. Considera los paralelogramos $AODE$ y $BOCF$. Demuestra que $E$, $F$ y $P$ son colineales.

2 Dado un paralelogramo $ABCD$ (con $AB \neq BC$). Se eligen puntos $E$ y $G$ sobre la recta $\overline{CD}$ tales que $\overline{AC}$ es la bisectriz de los ángulos $\angle EAD$ y $\angle BAG$. La recta $\overline{BC}$ corta a $\overline{AE}$ y $\overline{AG}$ en $F$ y $H$, respectivamente. Demuestra que la recta $\overline{FG}$ pasa por el punto medio de $HE$. Propuesto por Mahdi Etesamifard

3 Según la figura, tres triángulos equiláteros con lados de longitud $a,b,c$ tienen un vértice común y no tienen ningún otro punto en común. Las longitudes $x, y$ y $z$ están definidas como en la figura. Demuestra que $3(x+y+z)>2(a+b+c)$ . Propuesto por Mahdi Etesamifard

3 ¿Cuál es el menor número de esquinas de $3$ celdas que necesitas pintar en un cuadrado de $5 \times 5$ para que no puedas pintar más de una esquina de una misma celda? (Las esquinas sombreadas no deben superponerse).

1 ¿Existe un número de ocho dígitos sin dígitos cero, que al dividirlo entre el primer dígito dé residuo $1$, al dividirlo entre el segundo dígito dé residuo $2$, ..., y al dividirlo entre el octavo dígito dé residuo $8$?

4 Llamamos a un número mayor que $25$ semi-primo si es la suma de dos números primos diferentes. ¿Cuál es el mayor número de naturales consecutivos que pueden ser semi-primos?

5 Sean $AA_1$ y $CC_1$ las alturas del triángulo acutángulo $ABC$. Sean $K,L$ y $M$ los puntos medios de los lados $AB,BC$ y $CA$ respectivamente. Demuestra que si $\angle C_1MA_1 =\angle ABC$, entonces $C_1 K = A_1L$.

3 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AB > AC$ . Sea $\Gamma $ su circunferencia circunscrita, $H$ su ortocentro y $F$ el pie de la altura desde $A$ . Sea $M$ el punto medio de $BC$ . Sea $Q$ el punto sobre $\Gamma$ tal que $\angle HQA = 90^{\circ}$ y sea $K$ el punto sobre $\Gamma$ tal que $\angle HKQ = 90^{\circ}$ . Suponga que los puntos $A$ , $B$ , $C$ , $K$ y $Q$ son todos distintos y yacen sobre $\Gamma$ en ese orden. Demuestre que las circunferencias circunscritas de los triángulos $KQH$ y $FKM$ son tangentes entre sí. Propuesto por Ucrania

A1 Sea $a_0$ un entero positivo arbitrario. Considera la sucesión infinita $(a_n)_{n\geq 1}$, definida inductivamente como sigue: dados $a_0, a_1, ..., a_{n-1}$, define el término $a_n$ como el menor entero positivo tal que $a_0+a_1+...+a_n$ sea divisible por $n$. Demuestra que existe un entero positivo $M$ tal que $a_{n+1}=a_n$ para todo $n\geq M$.