Determina todas las funciones $f:\mathbb{R}^{+} \to \mathbb{R}^{+}$ tales que para cualesquiera reales positivos $x,y$ , $$f(xy+f(xy)) = xf(y) + yf(x)$$

4 Sea $ABCD$ un cuadrado de $2cm$ de lado y con centro $T$. Se dibuja un rombo $ARTE$ donde el punto $E$ está sobre la línea $DC$. ¿Cuál es el área de $ARTE$?

10.4 La función $f: \mathbb{Z}_{>0} \times \mathbb{Z}_{>0} \to \mathbb{Z}_{>0}$ es tal que $f(a,b) + f(b,c) = f(ac, b^2) + 1$ para cualesquiera enteros positivos $a,b,c$. Supón que existe un entero positivo $n$ tal que $f(n, m) \leq f(n, m + 1)$ para todo entero positivo $m$. Determina todos los valores posibles de $f(2025, 2025)$.

12.1 Sean $a,b,c$ números reales positivos con $a+b>c$. Demuestra que $ax + \sin(bx) + \cos(cx) > 1$ para todo $x\in \left(0, \frac{\pi}{a+b+c}\right)$.

11.2 Sean $\alpha, \beta$ números reales tales que $\sin\alpha\sin\beta=\frac{1}{3}$. Demuestra que el conjunto de valores posibles de $\cos \alpha \cos \beta$ es el intervalo $\left[-\frac{2}{3}, \frac{2}{3}\right]$.

$n$ asistentes parten simultáneamente desde un mismo vértice de un planeta con forma de cubo de arista $1$. Cada asistente se mueve a lo largo de las aristas del cubo a una velocidad constante de $2, 4, 8, \cdots, 2^n$, y solo puede cambiar de dirección en los vértices del cubo. Los asistentes pueden cruzarse entre sí en los vértices, pero si chocan en cualquier punto que no sea un vértice, explotarán. Determina el valor máximo posible de $n$ tal que los asistentes puedan moverse infinitamente sin colisiones.

Sea $\omega$ el circuncírculo del triángulo $ABC$ con centro $O$, y el círculo $A$-inmixtilíneo es tangente a $AB$, $AC$, $\omega$ en $D$, $E$, $T$ respectivamente. $P$ es la intersección de $TO$ y $DE$, y $X$ es la intersección de $AP$ y $\omega$. Demuestra que el conjugado isogonal de $P$ yace sobre la recta que pasa por el punto medio de $BC$ y $X$.

Hay $n$ rectas paralelas en un plano, y hay un conjunto $S$ de puntos distintos. Cada punto de $S$ está sobre una de las $n$ rectas y está coloreado de rojo o de azul. Determina el valor mínimo de $n$ tal que si $S$ satisface la siguiente condición, se garantiza que hay infinitos puntos rojos e infinitos puntos azules. Cada recta contiene al menos un punto rojo y al menos un punto azul de $S$. Considera un triángulo formado por tres elementos de $S$ ubicados en tres rectas distintas. Si dos de los vértices del triángulo son rojos, debe existir un punto azul, que no sea uno de los vértices, ya sea dentro o en la frontera del triángulo. De manera similar, si dos de los vértices son azules, debe existir un punto rojo, que no sea uno de los vértices, ya sea dentro o en la frontera del triángulo.

Hay $2025$ enteros positivos $a_1, a_2, \cdots, a_{2025}$ colocados alrededor de un círculo. Para cualquier $k = 1, 2, \cdots, 2025$, se cumple que $a_k \mid a_{k-1} + a_{k+1}$, donde los índices se consideran módulo $n$. Demuestra que existe un entero positivo $N$ tal que se satisface la siguiente condición. (Condición) Para cualquier entero positivo $n > N$, cuando $a_1 = n^n$, todos los $a_1, a_2, \cdots, a_{2025}$ son múltiplos de $n$.

Determina todas las ternas de enteros positivos $(p,m,n)$ tales que $p$ es primo, $m \neq n < 2p$ y $2 \nmid n$. Además, el siguiente polinomio es reducible en $\mathbb{Z}[x]$ $$x^{2p} - 2px^m - p^2x^n - 1$$