Determine todos los números reales $(a,b,c)$ tales que $ab = 9c$ y todas las raíces del polinomio \[x^3+ax^2+bx+c\] son números reales positivos. Propuesto por Santiago Rodriguez

Sea $ABC$ un triángulo con circunferencia circunscrita $\omega$ . Sean $l_1$ y $l_2$ las tangentes a $\omega$ en $B$ y $C$ , respectivamente. La recta paralela a $l_1$ que pasa por $C$ interseca a $AB$ en $P$ , y la recta paralela a $l_2$ que pasa por $B$ interseca a $AC$ en $Q$ . Demuestre que el circuncentro del triángulo $APQ$ se encuentra sobre la mediatriz de $BC$ . Propuesto por Santiago Rodriguez

Determine todas las ternas de enteros positivos $(a,b,c)$ tales que la fracción \[\frac{ca^2+b}{cab+a}\] es un entero. Propuesto por Santiago Rodriguez

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con ortocentro $H$ . Sea $P$ el punto tal que $PH$ es paralelo a $AB$ y $\angle BPH =90^{\circ}$ . Sea $Q$ el punto tal que $QH$ es paralelo a $AC$ y $\angle CQH =90^{\circ}$ . Demuestre que el circuncentro del triángulo $HPQ$ se encuentra sobre la recta $BC$ . Propuesto por Santiago Rodriguez

Daniel y Juan juegan un juego de Penga . Al comienzo del juego, tienen una torre hecha de ladrillos con $n$ pisos, donde cada piso tiene estrictamente más ladrillos que el piso que está encima de él. Los jugadores se turnan, comenzando por Juan. En cada turno, el jugador actual retira un ladrillo de cualquier piso de su elección. La torre se derrumba si en algún momento un piso termina teniendo más ladrillos que el piso que está debajo de él. Juan gana si la torre se derrumba; Daniel gana si todos los ladrillos son retirados sin que la torre se derrumbe jamás. Aquí hay un ejemplo de un movimiento: \begin{align*} 1&\quad \quad \quad\;\; 1\\ 5&\quad\rightarrow \quad 5\\ 5& \quad \quad \quad\;\; 4 \end{align*} Juan retira un ladrillo del piso inferior de la torre de la izquierda, lo que da como resultado la torre de la derecha, que se derrumba. a.) Determine todas las torres iniciales para las cuales Daniel puede asegurarse de que la torre nunca se derrumbe. b.) Determine cuántas torres iniciales con $7$ pisos y $96$ ladrillos en el piso inferior le permiten a Daniel garantizar que la torre nunca se derrumbe. Propuesto por Nicolás de la Hoz

1 Entre los números de cuatro cifras mayores que $2022$ que son divisibles por $3$ , halle el menor entero cuyas cuatro cifras son de solo dos tipos de números. YII.I.

2 En el trapecio $ABCD$ con una circunferencia inscrita, se tiene $AD\parallel BC$ , y sabemos que el ángulo $B$ y el ángulo $C$ son ambos agudos. Dado que $AB=7$ , $CD=8$ . Halle el área del trapecio $ABCD$ . YII.I.

3 Denotemos los vértices de un hexágono regular como $A,B,C,D,E,F$ . Si estamos parados en uno de estos puntos, podemos movernos al vértice adyacente u opuesto a este punto. Si partimos de $A$ , pasamos por los demás vértices una vez cada uno y regresamos a $A$ sin pasar por $A$ en el camino, ¿cuántos caminos hay en total? YII.I.

4 En un cuadrilátero convexo $ABCD$ , hay un punto $P$ en su interior. Dado que $AP\perp AD$ , $BP\perp CD$ , $AB=7$ , $AP=3$ , $BP=6$ , $AD=5$ , $CD=10$ . Halle el área de $\triangle ABC$ . YII.I.

5 Halle el número de pares de enteros $(m,n)$ ( $1\leq m,n\leq 2022$ ) que satisfacen la siguiente condición: Para cualquier entero positivo $N$ , existe un entero no negativo $k$ y un entero $d$ mayor que $N$ , tales que tanto $\frac{m-k^2}{d}$ como $\frac{n+2k}{d}$ son enteros. YII.I.