3 El torneo de carreras tiene $12$ etapas y $ n $ participantes. Después de cada etapa, todos los participantes, según el lugar ocupado $ k $ , reciben puntos $ a_k $ (los números $ a_k $ son naturales y $ a_1> a_2> \dots> a_n $ ) . ¿Cuál es el menor $ n $ para el cual el organizador del torneo puede elegir los números $ a_1 $ , $ \dots $ , $ a_n $ de modo que, después de la penúltima etapa, para cualquier distribución posible de los lugares, al menos dos participantes tengan la oportunidad de quedar en primer lugar?

4 La bisectriz del ángulo $ A $ del triángulo $ ABC $ interseca al lado $ BC $ en el punto $ A_1 $ , y a la circunferencia circunscrita en $ A_0 $ . Los puntos $ C_1 $ y $ C_0 $ se definen de manera análoga. Las rectas $ A_0C_0 $ y $ A_1C_1 $ se intersecan en el punto $ P $ . Demuestre que $ PI $ es paralela al lado $ AC $ , donde $ I $ es el centro de la circunferencia inscrita.

6 En el tetraedro $ ABCD $ , desde el vértice $ A $ se trazan las perpendiculares $ AB '$ , $ AC' $ , $ AD '$ a los planos que dividen por la mitad los ángulos diedros en las aristas $ CD $ , $ BD $ , $ BC $ . Demuestre que el plano $ (B'C'D ') $ es paralelo al plano $ (BCD) $ .

7 Demuestre que si un número natural $ N $ puede representarse en la forma de la suma de tres cuadrados de enteros divisibles por $3$ , entonces también se representa como la suma de tres cuadrados de enteros que no son divisibles por $3$ .

8 ¿Cuál es el número mínimo de casillas que se pueden colorear de negro en un cuadrado blanco de $ 300 \times 300 $ de modo que tres casillas negras cualesquiera no formen una esquina, y que después de pintar cualquier casilla blanca esta condición se viole?

3 Llame $good$ a un conjunto de puntos del plano si cualesquiera tres puntos del conjunto son los vértices de un triángulo isósceles o si son colineales. Determine todos los conjuntos $good$ de $a)$ 6 elementos $b)$ 7 elementos.

1 ¿Existe una solución en números reales del sistema de ecuaciones \[\left\{ \begin{array}{rcl} (x - y)(z - t)(z - x)(z - t)^2 = A, \\ (y - z)(t - x)(t - y)(x - z)^2 = B,\\ (x - z)(y - t)(z - t)(y - z)^2 = C,\\ \end{array} \right.\] cuando a) $A=2, B=8, C=6;$ b) $A=2, B=6, C=8.$ ?

4 $p$ es un número primo tal que los números $p+2$ , $p+2^n$ , $p+2+2^n$ son los tres primos. Halle todos los valores enteros de $n$ .

5 En el triángulo acutángulo $ ABC $ , el ángulo $ \angle A = 45^\circ $ , y las alturas $ BB_1 $ y $ CC_1 $ se intersecan en $ H $ . Demuestre que las rectas $ BC $ , $ B_1C_1 $ y la recta $ l $ que pasa por $ A $ perpendicular a $ AC $ se intersecan en un solo punto si y solo si $ H $ es el punto medio del segmento $ BB_1 $ .

5 En el lado $ CD $ del trapecio $ ABCD $ ( $ BC \parallel AD $ ) , se marca el punto $ K $ de modo que el triángulo $ ABK $ sea equilátero. Demuestre que en la recta $ AB $ existe un punto $ L $ tal que el triángulo $ CDL $ también es equilátero.