2 Sea $ABC$ un triángulo tal que $\angle C=2\angle B$ y sea $\omega$ su circunferencia circunscrita. Una tangente desde $A$ a $\omega$ interseca a $BC$ en $E$ . $\Omega$ es un círculo que pasa por $B$ y es tangente a $AC$ en $C$ . Sea $\Omega\cap AB=F$ . $K$ es un punto sobre $\Omega$ tal que $EK$ es tangente a $\Omega$ ( $A,K$ no están en el mismo lado de $BC$ ) . Sea $M$ el punto medio del arco $BC$ de $\omega$ (que no contiene a $A$ ) . Demuestre que $AFMK$ es un cuadrilátero cíclico. [asy] import graph; size(15.424606256655986cm); real labelscalefactor = 0.5; /* changes label-to-point distance */ pen dps = linewidth(0.7) + fontsize(10); defaultpen(dps); /* default pen style */ real xmin = -7.905629294221492, xmax = 11.618976962434495, ymin = -5.154837585051625, ymax = 4.0091473316396895; /* image dimensions */ pen uuuuuu = rgb(0.26666666666666666,0.26666666666666666,0.26666666666666666); /* draw figures */ draw(circle((1.4210145017438194,0.18096629151696939), 2.581514123077079)); draw(circle((1.4210145017438194,-1.3302878964546825), 2.8984706754484924)); draw(circle((-0.7076932767793396,-0.4161825262831505), 2.9101722408015513), linetype("4 4") + red); draw((3.996177869179178,0.)--(-3.839514259733819,0.)); draw((3.996177869179178,0.)--(0.07833180472267817,2.385828723227042)); draw((0.07833180472267817,2.385828723227042)--(-1.154148865691539,0.)); draw((-3.839514259733819,0.)--(-0.6807342461448075,-3.3262298939043657)); draw((0.07833180472267817,2.385828723227042)--(-3.839514259733819,0.)); /* dots and labels */ dot((3.996177869179178,0.),blue); label("$B$", (4.040279615036859,0.10218054796102663), NE * labelscalefactor,blue); dot((-1.154148865691539,0.),blue); label("$C$", (-1.3803811057738653,-0.14328333373606214), NE * labelscalefactor,blue); dot((1.4210145017438194,1.5681827789938092),linewidth(4.pt)); label("$F$", (1.4629088572174203,1.6465574703052102), NE * labelscalefactor); dot((0.07833180472267817,2.385828723227042),linewidth(3.pt) + blue); label("$A$", (-0.04055741817725232,2.5568193649319144), NE * labelscalefactor,blue); dot((-3.839514259733819,0.),linewidth(3.pt)); label("$E$", (-4.049800819229713,-0.06146203983703255), NE * labelscalefactor); dot((1.4210145017438194,-2.40054783156011),linewidth(4.pt) + uuuuuu); label("$M$", (1.4117705485305265,-2.6490604593938434), NE * labelscalefactor,uuuuuu); dot((-0.6807342461448075,-3.3262298939043657),linewidth(4.pt)); label("$K$", (-0.7871767250058992,-3.5490946922831688), NE * labelscalefactor); clip((xmin,ymin)--(xmin,ymax)--(xmax,ymax)--(xmax,ymin)--cycle); /* end of picture */[/asy]

3 Un consejo tiene $6$ miembros y las decisiones se basan en votos a favor y en contra. Llamamos a un método de toma de decisiones una forma Aceptable de decidir si satisface las dos condiciones siguientes: Condición ascendente : Si en algún caso el resultado final es positivo, también permanece positivo si alguien cambia su voto en contra por un voto a favor. Condición de simetría : Si todos los miembros cambian sus votos, el resultado también cambia. La votación ponderada, por ejemplo, es una forma Aceptable de decidir, en la que a los miembros se les asignan pesos no negativos como $\omega_1,\omega_2,\cdots , \omega_6$ y la decisión final se toma comparando la suma de los pesos de los votos a favor con la de los votos en contra. Por ejemplo, si $\omega_1=2$ y para todo $i\ge2, \omega_i=1$ , la decisión se basa en la mayoría de los votos, y en caso de empate, el voto del primer miembro es el que decide. Dé un ejemplo de una forma Aceptable de decidir que no pueda representarse como un método de votación ponderada.

4 Sean $l_1,l_2,l_3,...,L_n$ rectas en el plano tales que no hay dos de ellas paralelas y no hay tres concurrentes. Sea $A$ el punto de intersección de las rectas $l_i,l_j$ . Llamamos a $A$ un «Punto Interior» si existen puntos $C,D$ sobre $l_i$ y $E,F$ sobre $l_j$ tales que $A$ está entre $C,D$ y entre $E,F$ . Demuestre que hay al menos $\frac{(n-2)(n-3)}{2}$ puntos interiores. ( $n>2$ ) nota: por punto aquí nos referimos a los puntos que son intersección de dos de las rectas $l_1,l_2,...,l_n$ . M.J.Espinas

5 $ABCD$ es un cuadrilátero tal que $\angle ACB=\angle ACD$ . $T$ está en el interior de $ABCD$ tal que $\angle ADC-\angle ATB=\angle BAC$ y $\angle ABC-\angle ATD=\angle CAD$ . Demuestre que $\angle BAT=\angle DAC$ .

1 Considere un pastel con forma de círculo. Ha sido dividido en algunas partes desiguales por sus radios. Arash y Bahram quieren comer este pastel. Al principio, Arash toma una de las partes. En los pasos siguientes, toman consecutivamente una pieza adyacente a otra pieza retirada anteriormente. Suponga que el pastel ha sido dividido en 5 partes. Demuestre que Arash puede elegir sus piezas de tal manera que al menos la mitad del pastel sea suya.

6 Halle todas las funciones $f: \mathbb N \to \mathbb N$ tales que : 1. para todo $x,y\in N$ : $x+y|f(x)+f(y)$ 2. para todo $x\geq 1395$ : $x^3\geq 2f(x)$ K.N

2 Hay una computadora especial y tiene una memoria. Al principio, su memoria solo contiene $x$ . Llenamos la memoria con las siguientes reglas. 1) Si $f\neq 0$ está en la memoria, entonces también podemos poner $\frac{1}{f}$ en ella. 2) Si $f,g$ están en la memoria, entonces también podemos poner $ f+g$ y $f-g$ en ella. Halle todos los números naturales $n$ tales que podemos tener $x^n$ en la memoria.

3 Considere un triángulo $ABC$ . Los puntos $D,E$ están sobre los lados $AB,AC$ tales que $BDEC$ es un cuadrilátero cíclico. Sea $P$ la intersección de $BE$ y $CD$ . $H$ es un punto sobre $AC$ tal que $\angle PHA = 90^{\circ}$ . Sean $M,N$ los puntos medios de $AP,BC$ . Demuestre que : $ ACD \sim MNH $ .

1 En el cuadrilátero $ABCD$ , $AC$ es la bisectriz de $\hat{A}$ y $\widehat{ADC}=\widehat{ACB}$ . $X$ e $Y$ son los pies de las perpendiculares desde $A$ a $BC$ y $CD$ , respectivamente. Demuestre que el ortocentro del triángulo $AXY$ está sobre $BD$ .

2 Un círculo está dividido en $2n$ partes iguales por $2n$ puntos. Alí dibuja $n+1$ arcos, de longitudes $1,2,\ldots,n+1$ . Demuestre que podemos encontrar dos arcos tales que uno de ellos esté dentro del otro.